Il corso intende fornire allo studente la conoscenza e la comprensione di alcuni strumenti matematici di base e del linguaggio logico-formale ad essi relativo, necessari ad un approccio quantitativo alle scienze economiche e finanziarie.
Conoscenza e capacita' di comprensione: Lo studente dovrà essere in grado di:
- discriminare tra i diversi strumenti matematici e utilizzare gli stessi in modo razionale e consapevole al fine di fornire la migliore risoluzione al problema posto, sia esso di natura teorica o applicata;
- esprimere argomentazioni matematiche, relative agli strumenti affrontati nel corso, in maniera consapevole e pertinente, riconoscendo il carattere di generalità di quanto affermato;
- padroneggiare un linguaggio matematico adeguato a descrivere semplici modelli matematici di fenomeni di natura economico/finanziaria.
Capacita' di applicare conoscenza e comprensione: Il corso si propone di mettere lo studente in grado di: - condurre un ragionamento matematico astratto mediante l’utilizzo appropriato delle definizioni e dei teoremi presentati nel corso;
- riprodurre la dimostrazione di alcuni teoremi significativi, gestendo i passi di ragionamento e la loro concatenazione;
- avere una panoramica, seppure limitata, delle possibili applicazioni degli strumenti matematici introdotti a problemi di scelta economica, aziendale e finanziaria.
Insiemi numerici. Numeri naturali. Numeri interi. Numeri razionali. Densità dei numeri razionali. Rappresentazione decimale e geometrica dei numeri razionali. Numeri reali. Completezza dei numeri reali. Intervalli reali. Insiemi superiormente e inferiormente limitati. Insiemi limitati. Massimo e minimo di un insieme di numeri reali. Estremo superiore e inferiore di un insieme di numeri reali. Valore assoluto. Intorno di un numero reale. Punti interni di un insieme di numeri reali, punti esterni, punti di frontiera, punti di accumulazione. Insiemi aperti. Insiemi chiusi.
Lo spazio Rn . Vettori di Rn. Operazioni tra vettori. Dipendenza lineare tra vettori. Distanza tra due punti. Intorni. Insiemi aperti, chiusi, compatti. Insiemi convessi. Risoluzione di disequazioni lineari in due variabili. Convessità delle soluzioni di una disequazione lineare ( con dimostrazione ). Equazione della retta e del segmento (generale, canonica, vettoriale, parametrica).
Funzioni reali di una variabile reale. Funzioni reali di una variabile reale: generalità, grafico e rappresentazione grafica. Insiemi di definizione. Funzioni monotone. Teorema: Ogni funzione strettamente monotona è invertibile e la sua inversa è strettamente monotona. Grafico della funzione inversa. Invertibilità locale. Funzioni limitate e illimitate. Estremi superiori e estremi inferiori. Massimi e minimi assoluti (o globali). Massimi e minimi relativi (o locali). Funzioni elementari: funzioni affini, funzioni potenza, funzioni valore assoluto, funzioni esponenziali, funzioni logaritmiche. Disequazioni esponenziali e logaritmiche. Trasformazioni di grafici di funzioni. Funzione somma, funzione prodotto, funzione rapporto.
Limiti e continuità di funzioni di una variabile reale . Definizione di limite. Asintoti orizzontali e verticali. Teorema di unicità del limite ( con dimostrazione ). Teorema della permanenza del segno locale ( con dimostrazione ) e Teorema del confronto. Limiti di funzioni elementari. Forme indeterminate. Limiti di polinomi e del rapporto di polinomi. Funzioni continue: definizione, continuità delle funzioni elementari, operazioni algebriche e continuità, funzioni composte e continuità. Esempi di funzioni non continue, punti di discontinuità. Teoremi sulle funzioni continue: Teorema di Weierstrass, Teorema degli zeri ( con dimostrazione facoltativa ), Teorema dei valori intermedi o di Bolzano ( con dimostrazione ).
Calcolo differenziale per funzioni di una variabile reale . Rapporto incrementale, derivabilità in un punto, interpretazione geometrica del rapporto incrementale e della derivata in un punto. Equazione della retta tangente al grafico di funzione in un punto. Funzione derivata. Punti di non derivabilità: punti angolosi, punti di cuspide, punti di flesso a tangente verticale. Rapporto tra continuità e derivabilità in un punto ( con dimostrazione ). Derivate di funzioni elementari. Operazioni e regole di derivazione: derivata della somma algebrica di due funzioni, del prodotto di due funzioni, del rapporto di due funzioni. Derivata delle funzioni composte. Differenziale e suo significato geometrico, approssimazione locale di una funzione derivabile in un punto con la retta tangente. Derivate di ordine successivo. Teorema di de l’Hopital. Massimi e minimi locali di funzioni derivabili. Teorema di Fermat ( con dimostrazione ). Test di monotonia per funzioni derivabili su un intervallo. Condizioni sufficienti del primo ordine affinché un punto sia di massimo o di minimo. Funzioni convesse, strettamente convesse, concave, strettamente concave. Caratterizzazione delle funzioni convesse ( dimostrazione facoltativa del caso: se l’epigrafico di f è convesso allora f è convessa). Condizioni sufficienti del secondo ordine affiché un punto sia di massimo o minimo locale/globale. Studio del grafico di funzioni in una variabile reale.
Funzioni reali di due variabili reali . Dominio. Studio del segno. Curve di livello. Grafico. Definizione di limite. Funzioni continue. Teorema di Bolzano ( con dimostrazione ). Calcolo differenziale per funzioni in due variabili reali: derivate parziali, gradiente, cenni sulla differenziabilità e piano tangente al grafico di funzione in un punto. Problemi di ottimizzazione per funzioni in due variabili reali: Teorema di Weierstrass, Teorema di Fermat ( con dimostrazione ), punti stazionari e loro classificazione, condizioni sufficienti del secondo ordine. Problemi di ottimizzazione vincolata.
Matrici e sistemi lineari . Matrici: definizione, uguaglianza tra matrici, matrice trasposta. Operazioni tra matrici: somma, moltiplicazione tra uno scalare e una matrice, prodotto tra due matrici. Matrici quadrate: definizione, matrici diagonali, matrici identiche, matrici simmetriche, matrici invertibili. Unicità della matrice inversa ( con dimostrazione ). Determinante di una matrice quadrata. Operazioni elementari sulle righe (o sulle colonne) di una matrice e determinante ( con dimostrazione di alcune proprietà ). Teorema di Laplace e Corollario del Teorema di Laplace. Teorema Fondamentale sulle matrici ridotte. Matrici invertibili e determinante ( con dimostrazione ). Sistemi di m equazioni lineari in n incognite: definizione, matrici associate ad un sistema. Sistemi omogenei. Sistemi incompatibili, compatibili, determinati, indeterminati. Metodo di riduzione di Gauss. Teorema di Rouché-Capelli. Inversa e formula risolutiva di un sistema di n equazioni in n incognite con matrice dei coefficienti non singolare. Teorema di Cramer ( con dimostrazione ). Sistemi lineari con parametro: discussione della compatibilità.
I dettagli sulle modalità d’esame sono riportati nel file “Modalità d’esame” disponibile sulla pagina web del docente.
L’esame si articola in una prova scritta obbligatoria e una prova orale facoltativa.
I testi seguenti costituiscono soltanto un punto di riferimento per gli argomenti affrontati nel corso. Non è necessario l’acquisto, in particolare per coloro che frequentano le lezioni del corso. Copie dei testi sono disponibili per la consultazione presso la biblioteca del Dipartimento DISES.
- L. Peccati, S. Salsa, A. Squellati, Matematica per l’economia e l’azienda - quarta edizione, Egea.
- G. Giorgi, E. Molho, Elementi di Matematica, Giappichelli Editore.
- V. Aversa, Metodi quantitativi delle decisioni, Liguori Editore.
- (Testo di esercizi) E. Salinelli, Esercizi svolti di matematica, Giappichelli Editore.
Altro materiale didattico:
Note delle lezioni fornite dal docente.
Esercitazioni con relative soluzioni saranno inoltre pubblicate sulla pagina web del docente.