Domande d'esame VERIFICATO
Analisi 1 - Raccolta delle domande di teoria di vecchi temi d'esame
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Di cosa parla
- Successioni e Serie:
- Definizione e proprietà di successioni (convergenti, divergenti, infinitesime, limitate, monotone).
- Teoremi fondamentali sulle successioni: unicità del limite, irrazionalità di √2, assioma di completezza, convergenza di sottosuccessioni.
- Definizione e proprietà delle serie (convergenti, divergenti, assolutamente convergenti).
- Criteri di convergenza per serie: condizione necessaria, confronto, rapporto, convergenza assoluta. Analisi di serie geometriche e armoniche.
- Esempi e controesempi di serie e successioni, comportamento del prodotto di successioni limitate/infinitesime.
- Funzioni Reali:
- Definizioni di continuità, derivabilità e differenziabilità in un punto e su un intervallo.
- Relazioni tra continuità, derivabilità e differenziabilità. Esempi di funzioni continue ma non derivabili.
- Teoremi principali: Teorema di Weierstrass (massimi e minimi), Teorema degli Zeri (esistenza di radici), Teorema di Rolle, Teorema di Lagrange (valor medio), Teorema di Fermat (punti stazionari).
- Concetti di estremo superiore, massimo, minimo per insiemi e funzioni.
- Funzioni convesse: definizione e relazione con la derivata prima e seconda.
- Proprietà della derivata (es. relazione con la stretta monotonia).
- Calcolo Integrale:
- Integrale di Riemann: definizione, proprietà (linearità, additività). Esempi di funzioni limitate ma non integrabili.
- Teoremi Fondamentali del Calcolo Integrale (entrambe le versioni).
- Teorema della media integrale.
- Integrali impropri: definizione, condizioni di convergenza e implicazioni (es. limite nullo).
- Dimostrazioni e Controesempi:
- Richiesta di dimostrazioni rigorose di teoremi e proprietà (es. se serie converge, successione infinitesima; convergenza assoluta implica convergenza semplice).
- Costruzione di esempi e controesempi per illustrare o confutare affermazioni (es. serie convergente ma non assolutamente convergente, successione indeterminata ma non limitata, funzioni che non soddisfano le ipotesi dei teoremi).