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Esercitazioni di analisi 1 prof.ssa Schiaffonati
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Il testo copre le trasformazioni geometriche di funzioni, inclusi traslazioni, dilatazioni e riflessioni rispetto agli assi. Vengono poi trattati i concetti di monotonietà delle funzioni composte, i tipi di discontinuità e gli asintoti verticali, orizzontali e obliqui. La parte logica introduce le tabelle di verità per circuiti booleani e la dimostrazione dell'unicità del reciproco in un campo ordinato tramite assurdo. Infine, il materiale illustra l'induzione matematica per dimostrare proprietà divisorie, il binomio di Newton con i coefficienti binomiali e le basi dei numeri complessi, includendo modulo, argomento e operazioni algebriche.
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- Le trasformazioni geometriche delle funzioni includono traslazioni verticali e orizzontali, riflessioni rispetto agli assi, dilatazioni o contrazioni in base ai coefficienti moltiplicativi e ribaltamenti che invertono il segno della funzione.
- Nello studio della monotonietà si analizzano le proprietà di composizione tra funzioni crescenti e decrescenti, mentre la derivata fornisce un criterio per determinare l'intervallo in cui una funzione è crescente o decrescente.
- I punti di discontinuità sono classificati in base al comportamento dei limiti laterali, distinguendo tra salti, asintoti verticali quando i limiti tendono all'infinito e asintoti orizzontali o obliqui quando la funzione tende a un valore finito o lineare.
- Nel campo ordinato K si dimostrano l'unicità del reciproco per elementi non nulli e l'impossibilità dell'esistenza di soluzioni reali per equazioni come x² + 1 = 0 sfruttando gli assiomi di compatibilità e tricotomia.
- I principi di induzione matematica vengono applicati per dimostrare proprietà divisorie dei numeri naturali, mentre il binomio di Newton permette di espandere potenze di binomi attraverso coefficienti calcolabili tramite formule combinatorie.
- Nell'analisi degli insiemi reali si distinguono i concetti di massimo, minimo, suprem
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20 carte di ripasso sul programma ufficiale dell'insegnamento. Prova le prime:
Qual è la differenza tra un'implicazione P ⇒ Q e un'equivalenza P ⇔ Q? Quando è falsa un'implicazione? Gira la carta
L'implicazione P ⇒ Q è falsa solo quando P è vera e Q è falsa. L'equivalenza P ⇔ Q significa (P ⇒ Q) e (Q ⇒ P): le due proposizioni hanno lo stesso valore di verità. Dire che P è condizione sufficiente per Q equivale a dire che P ⇒ Q.
Quali proprietà definiscono un campo ordinato, e quali sono i suoi esempi tipici? Gira la carta
Un campo ordinato è un insieme dotato di due operazioni, somma e prodotto, che soddisfano associatività, commutatività, esistenza degli elementi neutri e degli opposti, esistenza degli inversi per gli elementi non nulli e distributività. Inoltre è dotato di un ordinamento totale compatibile con le operazioni: la somma preserva le disuguaglianze e il prodotto preserva quelle tra elementi positivi. Esempi tipici sono Q e R.
Qual è la proprietà di completezza di R e perché Q non la possiede? Gira la carta
Ogni sottoinsieme non vuoto di R superiormente limitato ammette un estremo superiore in R. In Q questo non vale: l'insieme dei razionali il cui quadrato è minore di 2 è limitato superiormente, ma non ha estremo superiore razionale, perché il candidato naturale è √2, che non è razionale.
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Di cosa parla l'insegnamento
ANALISI MATEMATICA I · 1° anno · 1° semestre · 10 CFU · MATH-03/A
Il corso di ANALISI MATEMATICA I si propone di fornire agli studenti le conoscenze di base sui seguenti argomenti, che costituiscono un bagaglio culturale imprescindibile all'interno di un percorso di studi in ingegneria: Elementi di logica formale ed insiemi numerici Successioni e serie numeriche Calcolo differenziale…