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Riassunto generale per ripasso di teoria ed esercizi pre-esame
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Spazi vettoriali: isomorfismi con IR² e IR³, basi canoniche. Norma/modulo, distanza. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz.
Funzioni di variabili reali e vettoriali, limiti, continuità, derivabilità, teorema di Weierstrass su domini compatti.
Derivata parziale, gradiente, differenziabilità. Regola della catena, teorema del differenziale totale.
Piano tangente, teorema del gradiente per direzione di massima pendenza e crescita.
Formule di Taylor con resto di Peano fino al 2° ordine.
Massimi e minimi liberi su domini aperti.
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- Spazi vettoriali: Rn è isomorfo al piano cartesiano per n=2 e allo spazio tridimensionale per n=3, composti da n-uple ed uno spaziovettoriale su R di dimensione m.
- Norma o modulo: Il ||x|| è la distanza del punto x da 0 in Rn, e se n=1 coincide con il valore assoluto di x. La disuguaglianza di Cauchy-Schwarz implica che |x.y| ≤ ||x||·||y||.
- Punti: Definiscono aperti, chiusi, limitati, compatti e concetti come isolato, interno, frontiera. Il complementare di un insieme è l'insieme di tutti i punti non appartenenti all'insieme stesso.
- Funzioni di più variabili: Definiscono funzioni reali in Rn, funzioni vettoriali e concetti come continuità, derivabilità, differenziabilità. Il teorema del differenziale totale e la regola della catena sono importanti.
- Derivata parziale: Definita come il limite di incremento rispetto a una variabile con le altre costanti.
- Gradiente: Definito come il vettore delle derivate parziali, rappresenta la direzione di massima pendenza della funzione in un punto.
- Taylor: Formule del polinomio di Taylor con resto di Peano arrestato al primo e secondo ordine per approssimare una funzione.
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Di cosa parla l'insegnamento
Analisi matematica II · 2° anno · 1° semestre · 6 CFU · MAT/05
Comprensione degli argomenti trattati e relativa abilità di calcolo. Capacità di riconoscere ed utilizzare adeguati strumenti matematici nelle discipline ingegneristiche.