Appunti VERIFICATO
Introduzione strumenti
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Di cosa parla
- Tecniche di Dimostrazione: Vengono illustrate la dimostrazione induttiva, per contronominale e per assurdo, con esempi pratici.
- Teoria degli Insiemi: Si definiscono gli insiemi, le notazioni (estensiva e intensiva) e le operazioni fondamentali come unione, intersezione, differenza, sottoinsieme e uguaglianza.
- Sistemi Numerici:
- Naturali (N): Proprietà di base, postulato del minimo, chiusura per somma e prodotto.
- Interi (Z): Chiusura per somma, prodotto e differenza.
- Razionali (Q): Definizione e dimostrazione per assurdo della non esistenza di soluzione razionale per x²=2.
- Reali (R): Presentazione degli 11 assiomi fondamentali che definiscono le loro proprietà algebriche e d'ordine, e l'assioma di completezza.
- Estremi di Insiemi: Concetti di insiemi superiormente/inferiormente limitati, maggioranti, minoranti. Teorema di esistenza del Sup e Inf con caratterizzazioni.
- Intervalli: Definizione e classificazione degli intervalli (aperti, chiusi, semiaperti, infiniti).
- Principio di Induzione: Formulazione e dimostrazione per la validità delle proposizioni Pn per ogni n ∈ N.
- Sommatorie e Produttorie: Definizione e teoremi chiave, inclusa la somma dei primi n numeri interi e la serie geometrica.
- Disuguaglianze: Dimostrazione della disuguaglianza di Bernoulli.
- Funzioni Reali:
- Definizioni Base: Dominio, codominio, immagine, retroimmagine.
- Tipologie: Funzioni iniettive, suriettive, biettive e invertibili.
- Proprietà: Parità (simmetria asse y), disparità (simmetria origine), periodicità, monotonia (crescente/decrescente) e il teorema sulla monotonia che collega invertibilità e monotonicità.
- Tipi Specifici: Funzioni Potenza (x^n), esponenziali (a^x) e logaritmiche (log_a(x)) con le loro proprietà fondamentali. Parte Intera Inferiore (⌊x⌋) e Parte Frazionaria ({x}). Funzioni Iperboliche (sinh(x), cosh(x), tgh(x)) e la loro relazione fondamentale. Funzione Valore Assoluto (|x|) come rappresentazione della distanza e le sue proprietà, inclusa la disuguaglianza triangolare.