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appunti teoria
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Di cosa parla
- Funzioni: Definizione di funzione, dominio, immagine. Classificazioni: iniettiva, suriettiva, biettiva (e loro inversa), pari, dispari, monotone (crescente, decrescente, non-crescente, non-decrescente). Esempi di funzioni elementari come potenza, radice, esponenziale, logaritmo, modulo e reciproca.
- Insiemi: Concetti di insieme limitato (superiormente, inferiormente), estremo superiore (sup), estremo inferiore (inf), massimo e minimo. Bocce aperte e chiuse. Insiemi aperti, chiusi e compatti. Punti di accumulazione e punti isolati.
- Limiti: Definizione formale di limite e sua unicità. Teoremi fondamentali sui limiti: limitatezza locale, permanenza del segno, confronto (carabinieri), limite del prodotto. Teoria degli infiniti e degli infinitesimi con il principio di sostituzione. Successioni convergenti, divergenti e indeterminate.
- Continuità: Definizione di funzione continua in un punto e su un intervallo. Classificazione dei punti di discontinuità (prima e seconda specie). Teoremi chiave per funzioni continue: composizione, inversa, conservazione della compattezza, Weierstrass (esistenza di max/min assoluti), valori intermedi, e degli zeri.
- Derivate: Definizione di derivata e significato geometrico (coefficiente angolare della retta tangente). Relazione tra continuità e derivabilità. Regole di derivazione per somma, prodotto, quoziente, funzione composta (chain rule) e funzione inversa. Teoremi fondamentali del calcolo differenziale: Fermat (punti stazionari), Rolle e Lagrange (teorema del valor medio). Conseguenze del teorema di Lagrange sulla monotonia e sugli estremi locali.
- Asintoti: Classificazione e calcolo degli asintoti verticali, orizzontali e obliqui.
- Funzioni Convesse e Concave: Definizione, relazione con la derivata prima (monotonia della derivata) e con la derivata seconda (segno). Punti di flesso.
- Integrali: Introduzione all'integrale di Riemann per il calcolo delle aree. Funzioni a gradinata e concetto di integrabilità. Il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale. Integrali indefiniti e tecniche di integrazione: per parti (con esempi, inclusi integrali ciclici) e per sostituzione.
- Formulari: Elenchi completi delle derivate e degli integrali immediati e di funzioni composte.
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