Compiti ed esercitazioni VERIFICATO
Esercizi Matlab
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Di cosa parla
- Il report è stato redatto per il corso di Calcolo Numerico in Ingegneria Aerospaziale, presentando un'analisi approfondita dei metodi iterativi per la risoluzione di equazioni non lineari e iterazioni di punto fisso tramite MATLAB.
- Esercizio 1: Metodo di Steffensen
- Implementato modificando la funzione di Newton, basato sulla formula
xk+1 = xk - f(xk)2 / (f(xk + f(xk)) - f(xk)). - Convergenza quadratica (ordine
p=2), non richiede il calcolo della derivata. - Applicato a
f(x) = x2 + log(x) + cos(x), convergendo in 5 iterazioni con alta precisione.
- Implementato modificando la funzione di Newton, basato sulla formula
- Esercizio 2: Metodo di Bisezione
- Implementato per risolvere
f(x) = 0. - Si basa sulla formula iterativa
ck = (ak + bk) / 2. - Applicato a
f(x) = x2 - 2, convergenza raggiunta in 38 iterazioni. - Metodo lento ma con convergenza globale garantita, applicabile se
f(a)f(b) < 0.
- Implementato per risolvere
- Esercizio 3: Equazione Parametrica con Metodi Multipli
- Risoluzione di un'equazione non lineare personalizzata
f(x) = 2ax3 - βx + γe2x - 2δ, con parametri derivati dal numero di matricola dello studente. - Confrontati il Metodo di Newton-Raphson, il Metodo di Steffensen e analizzato il Metodo della Tangente Fissa.
- Newton-Raphson è convergito in 7 iterazioni con errore finale prossimo allo zero macchina.
- Steffensen ha convergito in 5 iterazioni con un errore di
5.64437386e-13. - Il Metodo della Tangente Fissa è stato stimato richiedere circa 90 iterazioni per convergere.
- Risoluzione di un'equazione non lineare personalizzata
- Esercizio 4: Metodo di Aitken
- Implementato come tecnica di accelerazione per il Metodo del Punto Fisso.
- Basato sulla formula
xk+1 = xk - (g(xk) - xk)2 / (g(g(xk)) - 2g(xk) + xk), con convergenza quadratica (ordinep=2). - Applicato a
g(x) = cos(x), è convergito in 4 iterazioni con errore di4.90850e-11. - Dimostra una significativa accelerazione rispetto al Punto Fisso standard.
- Esercizio 5: Punto Fisso e Aitken per Equazione Personalizzata
- Utilizzata un'iterazione di punto fisso specifica
g(x) = (2ax3 + γe2xk - 2δ) / βper risolvere l'equazione dell'Esercizio 3. - Il Metodo del Punto Fisso per questa equazione è risultato divergente (fattore di convergenza
MPF ~ 4.6672 > 1). - Il Metodo di Aitken, applicato al problema, è convergente in 4 iterazioni con un errore di
1.11022302e-16, evidenziando la sua efficacia nell'accelerare iterazioni di punto fisso lente o divergenti.
- Utilizzata un'iterazione di punto fisso specifica
- In sintesi, il report fornisce una panoramica pratica dei vari metodi numerici per la ricerca di radici, con focus su implementazione, performance e proprietà teoriche.