Domande d'esame VERIFICATO
Testo e soluzione della I prova in itinere 2015 esame prof: Alessandra Cherubini
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Di cosa parla
- Studiare la posizione reciproca delle rette \( r \) e \( s \) variando il parametro \( h \): le rette sono parallele se \( h = 1 \), incidenti se \( h = 0 \), e sghembe per altri valori di \( h \).
- Per \( h = 0 \), trovare l'intersezione delle rette: il punto di intersezione è \( (0, 1, -1) \).
- Per \( h = -1 \), trovare l'equazione del piano parallelo a \( r \): il piano ha equazione \( x - z + 2 = 0 \).
- Trovare dimensioni e basi di \( W = \ker(A) \) ed \( U \): \( \dim(W) = 2 \), base \( \{(-2, 1, 1, 0)^T, (-1, 0, 0, 1)^T\} \); \( \dim(U) = 2 \), base \( \{(1, 1, 0, 1)^T, (0, 1, 0, 2)^T\} \).
- Trovare dimensioni e basi di \( U + W \) ed \( U \cap W \): \( \dim(U + W) = 3 \), base \( \{(-2, 1, 1, 0)^T, (-1, 0, 0, 1)^T, (1, 1, 0, 1)^T\} \); \( \dim(U \cap W) = 1 \), base \( \{(-1, 0, 0, 1)^T\} \).
- Completare la base di \( U + W \) ad una base di \( \mathbb{R}^4 \): si può aggiungere il vettore \( (1, 0, 0, 0)^T \).
- Trovare dimensioni e basi di \( \ker(f) \) ed \( \text{Im}(f) \) per l'applicazione lineare \( f: \mathbb{R}_2[x] \to \mathbb{R}_2[x] \): \( \dim(\ker(f)) = 1 \), base \( \{1 - x\} \); \( \dim(\text{Im}(f)) = 2 \), base \( \{1 + x + x^2, 1 - x + x^2\} \).
- Scrivere la matrice del cambiamento di base da \( S_2 \) a \( B \): \( T = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \).
- Scrivere la matrice \( A_0 \) che rappresenta \( f \) rispetto alla base \( B \): \( A_0 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & -2 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \).