Appunti VERIFICATO
Analisi appunti
Nessun voto ancora
Di cosa parla
- **Fondamenti di Teoria degli Insiemi:** Il testo introduce i concetti primitivi di elemento, insieme e appartenenza, sottolineando l'importanza di una comprensione precisa per evitare ambiguità e paradossi. Vengono stabilite le notazioni standard per gli elementi (lettere minuscole) e gli insiemi (lettere maiuscole).
- **Inclusione e Assioma di Estensione:** Viene definita l'inclusione di insiemi (A ⊆ B) e l'Assioma di Estensione, che stabilisce l'uguaglianza tra insiemi basata esclusivamente sulla condivisione degli stessi elementi.
- **Insieme Vuoto e Operazioni Fondamentali:** L'insieme vuoto (Ø), privo di elementi e unico, è presentato. Si descrivono le operazioni insiemistiche fondamentali: unione (A ∪ B), intersezione (A ∩ B) e differenza (B \ A), fornendo indicazioni operative e esempi.
- **Coppie Ordinate e Relazioni:** Si introduce il concetto di coppia ordinata (a, b) evidenziandone la distinzione da un insieme {a, b}. Una relazione è definita come un insieme di coppie ordinate, con varie rappresentazioni grafiche (frecce tra punti o punti su assi cartesiani).
- **Relazioni Funzionali e Dominio/Codominio:** Una relazione è detta funzionale se ad ogni elemento del dominio corrisponde un unico elemento nel codominio. Vengono definiti il dominio (l'insieme delle prime coordinate) e il dominio inverso o codominio (l'insieme delle seconde coordinate) di una relazione, con metodi grafici per la loro individuazione.
- **Definizione di Funzione:** Una funzione è formalizzata come una terna (A, B, R), dove A è il dominio, B il codominio e R è il grafico, una relazione funzionale con dominio A. Si introduce anche la funzione composta (g o f).
- **Proprietà delle Funzioni:**
- **Iniettività (ingettiva):** Una funzione è iniettiva se elementi distinti del dominio corrispondono a elementi distinti del codominio. Graficamente, nessuna retta orizzontale interseca il grafico più di una volta.
- **Suriettività (surgettiva):** Una funzione è suriettiva se ogni elemento del codominio è immagine di almeno un elemento del dominio.
- **Biettività (bigettiva):** Una funzione è biettiva se è sia iniettiva che suriettiva. Solo le funzioni biettive ammettono una funzione inversa.
- **Funzione Inversa e Manipolazioni:** La funzione inversa (f⁻¹) esiste solo per funzioni biettive. La sua rappresentazione grafica è simmetrica a quella della funzione originale rispetto alla bisettrice y=x. Per funzioni non biettive, si possono definire funzioni inverse su specifici "pezzi" del grafico tramite operazioni di restrizione (limitazione del dominio) e riduzione (limitazione del codominio), e si introduce il concetto di prolungamento.