Dispense VERIFICATO
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La dimensione di uno spazio vettoriale \(V\) su un campo \(K\) è il numero di elementi in una sua base. Se \(V\) è finitamente generato e non nullo, tutte le sue basi hanno lo stesso numero di elementi, chiamato dimensione di \(V\). Per sottospazi \(W \subset V\), \(W\) è finitamente generato e dim\(W \leq\) dim\(V\); dim\(W =\) dim\(V\) se e solo se \(W = V\). La dimensione di matrici speciali (triangolari, simmetriche) può essere calcolata tramite basi.
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- Dimensione di uno spazio vettoriale: se \(V\) è finitamente generato su un campo \(K\), la dimensione è il numero di elementi in una sua base. Se \(V = \{0_V\}\), allora \(\dim_K(V) = 0\); altrimenti, \(\dim_K(V)\) è il numero degli elementi in qualsiasi sua base.
- Lemma di Steinitz: se \(v_1,...,v_n\) sono generatori e \(w_1,...,w_m\) sono linearmente indipendenti in uno spazio vettoriale finitamente generato su un campo \(K\), allora \(m \geq n\).
- Dimensione di sottospazi: ogni sottospazio di uno spazio vettoriale finitamente generato è anche finitamente generato. Se \(W\) è un sottospazio di \(V\), allora \(\dim_K(W) \leq \dim_K(V)\); inoltre, \(\dim_K(W) = \dim_K(V)\) se e solo se \(W = V\).
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