Dispense VERIFICATO
lezione 14
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Di cosa parla
- Combinazioni lineari: un vettore \( \mathbf{v} \) in uno spazio vettoriale \( V \) su un campo \( K \) è una combinazione lineare di vettori \( \mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_n \) se esistono scalari \( \alpha_1, \ldots, \alpha_n \in K \) tali che \( \mathbf{v} = \alpha_1\mathbf{v}_1 + \cdots + \alpha_n\mathbf{v}_n \). L'insieme di tutti i vettori che possono essere espressi come combinazione lineare di \( \mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_n \) si chiama \( L(\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_n) \), detto generato da \( \mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_n \).
- Dipendenza lineare: vettori \( \mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_n \) sono linearmente dipendenti se esistono scalari \( \alpha_1, \ldots, \alpha_n \in K \), non tutti nulli, tali che \( \alpha_1\mathbf{v}_1 + \cdots + \alpha_n\mathbf{v}_n = 0_V \). Sono linearmente indipendenti se la soluzione è unica e i coefficienti sono tutti nulli.
- Esempi: vettori del piano o dello spazio possono essere combinazioni lineari, come \( (3,2,1) \) non lo è in \( L((1,0,0), (0,1,0)) \) ma lo è in \( L((1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)) \). Polinomi di un solo indeterminato formano uno spazio vettoriale finitamente generato, mentre polinomi generali non lo sono.
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