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lezione 14
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Lezione 14 tratta combinazioni lineari, spazi vettoriali generati, e indipendenza lineare. Definisce una combinazione lineare come somma ponderata di vettori con scalari da un campo K. Il sottoinsieme di vettori che sono combinazioni lineare si chiama sottospazio generato. Vettori che generano un spazio sono chiamati generatori, e se esistono finiti tali vettori il spazio è finitamente generato.
Esempi illustrano combinazioni lineari di vettori in R³ e Kⁿ, dimostrando che alcuni vettori non sono generatori completi. Si evidenzia l'unicità della rappresentazione come combinazione lineare per generatori dati.
La lezione introduce anche la dipendenza e
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- Combinazioni lineari: un vettore \( \mathbf{v} \) in uno spazio vettoriale \( V \) su un campo \( K \) è una combinazione lineare di vettori \( \mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_n \) se esistono scalari \( \alpha_1, \ldots, \alpha_n \in K \) tali che \( \mathbf{v} = \alpha_1\mathbf{v}_1 + \cdots + \alpha_n\mathbf{v}_n \). L'insieme di tutti i vettori che possono essere espressi come combinazione lineare di \( \mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_n \) si chiama \( L(\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_n) \), detto generato da \( \mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_n \).
- Dipendenza lineare: vettori \( \mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_n \) sono linearmente dipendenti se esistono scalari \( \alpha_1, \ldots, \alpha_n \in K \), non tutti nulli, tali che \( \alpha_1\mathbf{v}_1 + \cdots + \alpha_n\mathbf{v}_n = 0_V \). Sono linearmente indipendenti se la soluzione è unica e i coefficienti sono tutti nulli.
- Esempi: vettori del piano o dello spazio possono essere combinazioni lineari, come \( (3,2,1) \) non lo è in \( L((1,0,0), (0,1,0)) \) ma lo è in \( L((1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)) \). Polinomi di un solo indeterminato formano uno spazio vettoriale finitamente generato, mentre polinomi generali non lo sono.
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