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LEZIONE 24
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Le coniche nel piano possono essere ridotte a forma canonica attraverso rototraslazioni. La forma canonica di una conica è data da \( \alpha x^2 + \beta y^2 = \gamma \) o \( \beta y^2 = 2\alpha x \). Per ottenere questa forma, si determina una matrice ortogonale speciale che diagonalizzi la matrice dei termini di secondo grado e poi si applica una traslazione per eliminare i termini lineari. La conica è degenera se la sua matrice completa ha determinante nullo. Se non degenere, può essere un'ellisse, un'iperbole o una parabola in base ai valori degli autovalori della matrice dei termini di secondo grado.
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- Coniche nel piano: equazione generale \(ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0\), con \(a, b, c, d, e, f \in \mathbb{R}\) e \(b^2-4ac \neq 0\) per non degeneri.
- Forma canonica di una conica: equazione del tipo \(\alpha x^2 + \beta y^2 = \gamma\) o \(\beta y^2 = 2\alpha x\).
- Riduzione a forma canonica: utilizzo di rototraslazioni per ottenere l'equazione canonica, determinazione delle matrici associate e calcolo degli autovalori.
- Determinazione del tipo di una conica non degenere: \(det(A) = 0\) indica parabola, \(det(A) > 0\), \(\alpha \beta > 0\) ellisse, \(\alpha \beta < 0\) iperbole; \(det(A) < 0\), \(\alpha \beta = 0\) conica degenera.
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