Dispense VERIFICATO
LEZIONE 18
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Lezione 18 tratta applicazioni lineari tra spazi vettoriali di dimensione finita. Si dimostra che per descrivere un'applicazione lineare su uno spazio vettoriale finitamente generato, basta conoscere le immagini degli elementi di una base del dominio. La Proposizione 18.1 afferma l'esistenza e unicità dell'applicazione lineare con queste proprietà. Il Corollario 18.2 sostiene che se due applicazioni lineari coincidono sugli elementi di una base, sono uguali ovunque.
L'argomento si estende agli isomorfismi tra spazi vettoriali di dimensione finita, dove la Proposizione 18.5 stabilisce che V ≈ W se e solo se le loro dimensioni su K coincidono. Si fornis
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- Proposizione 18.1: Esiste un'unica applicazione lineare \( f \) tale che \( f(v_i) = w_i \) per i=1,...,n, dove \( B=(v_1,...,v_n) \) è una base di \( V \) e \( w_1,...,w_n \in W \).
- Corollario 18.2: Due applicazioni lineari coincidono se coincidono sugli elementi di una base del dominio.
- Proposizione 18.5: \( V \cong W \) se e solo se \( \dim_K(V) = \dim_K(W) \).
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