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esercitazione sistemi 2
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Siano \( w_1, w_2, w_3 \) vettori di una base di W. Si verifica che sia \( B = (w_1, w_2, w_3) \) una base. Si determina l'applicazione lineare \( f: V \to W \) tale che \( f(v_1) = w_1 + 2w_2 - w_3 \), \( f(v_2) = 2w_1 + v_2 - w_4 \), \( f(v_3) = -\frac{8}{5}w_1 + \frac{1}{5}v_2 + w_3 \), \( f(v_4) = -\frac{21}{5}w_1 - \frac{17}{5}v_2 + 5w_3 \). La matrice di \( f \) rispetto a \( B \) è \( M(f) = \begin{pmatrix} 2 & 0 & -\frac{8}{5} & -\frac{21}{5} \\ 0 & 2 & \frac{1}{5} & -\frac{17}{5} \\ -1 & -1 & 1 & 5 \end{pmatrix} \).
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- Verificare che \(\mathbf{B} = (\mathbf{w}_1, \mathbf{w}_2, \mathbf{w}_3)\) è una base di \(W\) calcolando il rango della matrice delle componenti dei vettori come righe.
- Determinare l'applicazione lineare \(f: V \rightarrow W\) tale che \(f(\mathbf{v}_1) = \mathbf{w}_1 + \mathbf{w}_2\), \(f(\mathbf{v}_2) = 2\mathbf{w}_1 - \mathbf{w}_3\), \(f(\mathbf{v}_3) = -\mathbf{w}_1 + 2\mathbf{w}_2 - \mathbf{w}_4\) e calcolare la matrice di \(f\) rispetto alle basi.
- Calcolare \(M(f)\) utilizzando le espressioni dei vettori della base in termini delle componenti della base standard, quindi determinare \(f(\mathbf{e}_1)\), \(f(\mathbf{e}_2)\), \(f(\mathbf{e}_3)\) e formare la matrice.
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