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Università degli Studi di Torino Scienze Biologiche 2016
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Autovalori, autovettori e autospazi di endomorfismi: - Uno scalare λ ∈ K è autovalore se esiste v ≠ 0 tale che f(v) = λv. - Autovettori sono vettori tali che f(v) = λv. - Autospazio relativo a λ è l'insieme di tutti i suoi autovettori e {0}. Autovalori di una matrice A: soluzioni non banali del sistema (A - λI)x = 0. Polinomio caratteristico pA(t) = det(A - tI), le cui radici sono gli autovalori. Molteplicità algebrica a(λ, A): molteplicità di λ come radice di pA(t). Molteplicità geometrica mg(λ, A): dimensione di EA(λ). Spettro f: insieme degli autovalori.
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  • Autovalori, autovettori e autospazi di endomorfismi: uno scalare \lambda è autovalore se esiste un vettore non nullo v \neq 0_V tale che f(v) = \lambda v. L'insieme degli autovettori relativi a \lambda è l'autospazio relativo a \lambda, definito come E_f(\lambda).
  • Proposizione 19.2: un scalare \lambda è autovalore se e solo se il polinomio caratteristico (f - \lambda id_V) non è iniettivo, equivalente a Ker(f - \lambda id_V) \neq \{0_V\}. Per una matrice A, gli autovalori sono i numeri \lambda tali che dim(Ker(A - \lambda I_n)) > 0.
  • Esempio 19.3: la matrice A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 3 & -4 \end{pmatrix} ha autovalore 2, mentre -5 è anche un autovalore.
  • Polinomio caratteristico e spettro di una matrice: per una matrice A \in K^{n,n}, il polinomio caratteristico p_A(t) = det(A - tI_n) ha grado n. Gli autovalori sono le radici del polinomio caratteristico, e c'è al più n autovalori.
  • Esempio 19.7: la matrice A \in R^{2,2} non ha autovalori in R ma ±i in C; per calcolare l'autospazio relativo a un autovalore si risolve il sistema lineare corrispondente.
  • Esempio 19.9: la matrice A \in R^{3,3} ha autovalori ±3 e gli autospazi relativi sono calcolati risolvendo i sistemi lineari associati a ciascun autovalore.
  • Molteplicità algebrica e geometrica: la molteplicità algebrica di un autovalore \lambda è il suo ordine come radice del polinomio caratteristico, mentre la molteplicità geometrica è la dimensione dell'autospazio relativo a \lambda. Si ha che 1 \leq mg(\lambda, A) \leq ma(\lambda, A).
  • Spettro di un endomorfismo: l'insieme degli autovalori di un endomorfismo f: V \to V su uno spazio vettoriale V è definito come Sp_K(f) = \{\lambda \in K | f - \lambda id_V \text{ non è invertibile}\}.

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