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lezione 9
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Lezione 9 introduce le equazioni parametriche delle rette nello spazio e nel piano. Una retta nello spazio è caratterizzata da una direzione non nulla e un punto qualsiasi, con equazioni parametriche \( \mathbf{OP} = \mathbf{OR} + t\mathbf{v} \). In un sistema cartesiano ortogonale, queste diventano \( x = x_0 + lt \), \( y = y_0 + mt \), \( z = z_0 + nt \). Due rette parallele possono avere diverse equazioni parametriche. Le rette nello spazio possono essere complanari o sghembe, e due rette parallele ed incidenti devono coincidere.
Per i piani nel piano, le equazioni parametriche sono \( x = x_0 + lt \), \( y = y_0 + mt \). Un punto appartiene al se
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- Le equazioni parametriche della retta in uno spazio tridimensionale sono definite da una direzione non nulla \(\vec{v}\) e un punto qualsiasi \(R\) sulla retta: \(\vec{OP} = \vec{OR} + t\vec{v}\), dove \(t \in \mathbb{R}\).
- Per specificare una retta in uno spazio tridimensionale con un sistema di riferimento ortogonale, si utilizzano le equazioni parametriche: \(x = x_0 + lt\), \(y = y_0 + mt\), \(z = z_0 + nt\), dove \((x_0, y_0, z_0)\) sono le coordinate di \(R\) e \(\vec{v} = l\vec{i} + m\vec{j} + n\vec{k}\) è la direzione della retta.
- Due rette parallele in uno spazio tridimensionale possono essere descritte con equazioni parametriche che differiscono solo per il parametro \(t\) o per i coefficienti direzionali, ma non necessariamente coincidono se i punti di partenza sono diversi.
- Per determinare la posizione relativa tra due rette, si confrontano le loro equazioni parametriche. Se le equazioni sono compatibili e hanno soluzione per un valore di \(t\), allora le rette sono incidenti; altrimenti, sono sghembe.
- Le equazioni parametriche di una retta possono essere viste come leggi orarie del moto di un punto lungo la retta con posizione iniziale \((x_0, y_0, z_0)\) e velocità costante \(\vec{v} = l\vec{i} + m\vec{j} + n\vec{k}\).
- In uno spazio bidimensionale, le equazioni parametriche di una retta passante per due punti \(A\) e \(B\) sono: \(x = x_A + (x_B - x_A)t\), \(y = y_A + (y_B - y_A)t\), dove \(t \in [0,1]\) per descrivere il segmento \(AB\).
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