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esercitazione sistemi 4
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Siano \( w = (0,2,0,1) \), \( v = (2,0,0,0) \). Esiste unico \( f \in \text{End}(R^4) \) tale che \( f(u) = u - v \), \( f(v) = u + v \), con \( V = \text{ker}(f) \). Si determina \( M(f) \).
Si costruisce una base \( C = (v_1, v_2, v_3, v_4) \) di \( R^4 \) e si calcolano le immagini dei suoi elementi. Risulta:
\[ f(v_1) = (-2,2,0,1), \quad f(v_2) = (2,2,0,1), \quad f(v_3) = f(v_4) = (0,0,0,0) \]
Si calcolano anche le immagini delle basi del ker(f):
\[ f(e_1) = (1,1,0,1/2), \quad f(e_2) = (-3/2,1/2,0,1/4), \quad f(e_3) = (3/2,-1/2,0,-1/4), \quad f(e_4) = (1,1,0,1/2) \]
Dalla matrice si ricava \( M(f) \).
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- Si considerano vettori \( w = (0,2,0,1) \), \( v = (2,0,0,0) \) in \( \mathbb{R}^4 \).
- Si determina una base di \( \ker(f) \) e si costruisce un'apposita base \( C \) per ottenere le immagini dei vettori f.
- Si calcolano le immagini dei vettori della base \( C \): \( f(v_1) = (-2,2,0,1) \), \( f(v_2) = (2,2,0,1) \), \( f(v_3) = f(2v_3) = (0,0,0,0) \).
- Si determina la matrice di \( f \) rispetto alla base canonica: \[ M(f) = \begin{pmatrix} -1 & -3/2 & 3/2 & 1 \\ 1 & 1/2 & -1/2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1/2 & 1/4 & -1/4 & 1/2 \end{pmatrix} \]
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