Compiti ed esercitazioni VERIFICATO
sistemi lineari 3
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Siano \( w = (0,2,0,1) \), \( v = (2,0,0,0) \). Esiste unico \( f \in \text{End}(R^4) \) tale che \( f(w)=w-v \), \( f(v)=w+v \). Si determina \( M(f) \). I vettori \( v_1 = w - v \) e \( v_2 = w + v \) sono linearmente indipendenti. Una base di \( \ker(f) \) è data da \( (0,1,1,0) \) e \( (1,0,0,-1) \). Considerando i vettori \( w_1 = (0,1,1,0) \), \( w_2 = (1,0,0,-1) \) e calcolando le immagini dei vettori di base si trova:
\[ f(w_1) = (-2,2,0,1), f(w_2) = (2,2,0,1), f(v_3) = f(2w_1 - w_2) = (0,0,0,0) \]
Le matrici delle immagini sono:
\[ M(f) = \begin{pmatrix} -2 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1/2 \end{pmatrix} \]
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- Si definiscono vettori \( u = (0,2,0,1) \), \( v = (2,0,0,0) \) e si determina una base per il nucleo di \( f \).
- Si costruisce una base \( C = (v_1, v_2, v_3, v_4) \) di \( \mathbb{R}^4 \), con \( v_1 = u - v \) e \( v_2 = u + v \).
- Si calcolano le immagini dei vettori della base \( C \) tramite \( f \): \( f(v_1) = (-2,2,0,1) \), \( f(v_2) = (2,2,0,1) \), \( f(v_3) = f(v_4) = (0,0,0,0) \).
- Si determina la matrice di \( f \) rispetto alla base \( C \): \[ M(f) = \begin{pmatrix} -2 & 2 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}. \]
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