Matematica Generale

Quale delle seguenti è la forma generale di una funzione affine?

• f(x) = c con c costante
• f(x) = m·x + q
• f(x) = a^x con a > 0
• f(x) = a·x² + b·x + c

Nella classificazione delle funzioni del testo la funzione affine è f(x) = mx + q, mentre la costante è il caso particolare m = 0.

Il polinomio di Taylor di grado n di una funzione f centrato in x₀ serve a:

• Determinare l'area sottesa al grafico di f
• Approssimare f in un intorno di x₀ con un polinomio le cui derivate coincidono con quelle di f in x₀
• Calcolare esattamente il valore di f in ogni punto del dominio
• Trovare gli asintoti orizzontali di f

Il testo presenta il polinomio di Taylor come approssimazione di f(x) con f(x₀) + f'(x₀)(x−x₀) + ..., con il resto che misura l'errore.

Se x₀ è un punto di massimo o minimo relativo interno al dominio e f è derivabile in x₀, quale condizione deve valere?

• f'(x₀) = 0
• f(x₀) = 0
• f'(x₀) > 0
• f''(x₀) = 0

Un punto di estremo relativo interno e derivabile è stazionario, cioè la derivata prima si annulla (teorema di Fermat, punto stazionario).

Una funzione f è continua in un punto x₀ se:

• f è monotona in un intorno di x₀
• f è derivabile in x₀
• f è limitata in un intorno di x₀
• il limite di f(x) per x tendente a x₀ esiste ed è uguale a f(x₀)

La definizione di continuità nel testo richiede che il limite della funzione in x₀ coincida con il valore f(x₀).

Nella definizione di integrale definito secondo Riemann, si approssima l'area sottesa al grafico tramite:

• La retta tangente nel punto medio
• Il polinomio di Taylor di grado zero
• Somme di rettangoli inferiori e superiori rispetto a una partizione dell'intervallo
• La media aritmetica dei valori di f

Il testo introduce le somme inferiori e superiori (plurirettangoli) e l'integrale come limite comune di tali somme.