Dispense VERIFICATO
matematica
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Di cosa parla
- Metodologia di Studio delle Funzioni:
- Calcolo del Dominio: Analisi delle condizioni per denominatori (diversi da zero), radici (argomento non negativo), logaritmi (argomento positivo) e funzioni trigonometriche inverse.
- Limiti e Asintoti: Ricerca di asintoti verticali, orizzontali e obliqui.
- Segno della Funzione: Determinazione degli intervalli in cui la funzione è positiva, negativa o nulla, e intersezioni con gli assi cartesiani.
- Studio della Crescita e Decrescita (Derivata Prima): Analisi della derivata prima per identificare intervalli di monotonia e punti di massimo/minimo relativi.
- Studio della Convessità (Derivata Seconda): Analisi della derivata seconda per determinare la concavità e i punti di flesso.
- Disegno del Grafico: Rappresentazione grafica della funzione basata su tutte le analisi precedenti.
- Funzione Esempio 1:
f(x) = (x^2 - 1) / (x^2 - 2x)- Dominio:
x ≠ 0, x ≠ 2. - Asintoti Orizzontali:
y = 1. - Asintoti Verticali:
x = 0, x = 2. - Segno della funzione: Positiva per
x ∈ [-1, 0) U [1, 2) U (2, +∞). - Derivata Prima:
f'(x) = -2(x^2 - x + 1) / (x^2 - 2x)^2. Poichéx^2 - x + 1è sempre positivo,f'(x)è sempre negativa, quindi la funzione è sempre decrescente. - Derivata Seconda: Calcolata in dettaglio, mostra una complessità algebrica.
- Dominio:
- Funzione Esempio 2:
f(x) = x * e^(-1/x)- Dominio:
x ≠ 0. - Asintoto Obliquo:
y = x - 1. - Asintoto Verticale:
x = 0(solo perx → 0-). - Discontinuità di seconda specie in
x = 0. - Segno della funzione: Positiva per
x > 0. - Derivata Prima:
f'(x) = e^(-1/x) (1 + 1/x). Massimi e minimi relativi determinati dall'analisi di(x+1)/x. Massimo relativo in(-1, -e). - Derivata Seconda:
f''(x) = e^(-1/x) * (-1/x^3). Concavità determinata dal segno di-1/x^3.
- Dominio:
- Funzione Esempio 3:
f(x) = c/x + arctan(x)(conccostante)- Dominio:
x ≠ 0. - Asintoti Orizzontali:
y = -π/2(perx → -∞),y = π/2(perx → +∞). - Asintoto Verticale:
x = 0. - Derivata Prima:
f'(x) = ((1-c)x^2 - c) / (x^2(x^2+1)). - Caso
c < 0:f'(x) > 0, la funzione è sempre crescente. - Caso
0 < c < 1:f'(x) >= 0perx <= -√(c/(1-c))ox >= √(c/(1-c)). Presenza di massimi e minimi relativi. - Caso
c > 1:f'(x) < 0, la funzione è sempre decrescente. - In tutti i casi, i grafici illustrano il comportamento della funzione in relazione alla costante
c.
- Dominio: