Dispense VERIFICATO
Capitolo 8
55 visualizzazioni
Nessun voto ancora
Stai vedendo l'anteprima delle prime pagine. Registrati per sbloccare le pagine restanti.
Di cosa parla
- Funzioni di Variabile Complessa: Il documento inizia definendo le funzioni f: C → C e introduce concetti come continuità, derivabilità e integrazione, estendendo le definizioni dal campo reale. Una funzione complessa f(z) = F(x,y) può essere scomposta in parti reali e immaginarie u(x,y) + iv(x,y).
- Identità di Cauchy-Riemann: Condizione necessaria per la derivabilità complessa. In forma complessa è ∂xf(z) + i∂yf(z) = 0, mentre in forma reale si traduce in ∂u/∂x = ∂v/∂y e ∂v/∂x = -∂u/∂y. La differenziabilità complessa implica essere differenziabile in R e avere un differenziale C-lineare.
- Funzioni Olomorfe e Analiticità: Una funzione è olomorfa se C-differenziabile e la sua derivata è continua. Le funzioni olomorfe sono C∞ e analitiche, cioè possono essere sviluppate in serie di Taylor convergente nel loro disco di convergenza. Vengono illustrate le proprietà delle funzioni armoniche, ovvero le parti reale e immaginaria delle funzioni olomorfe.
- Integrazione Complessa: L'integrale di una funzione f lungo un cammino γ è definito come ∫γ f(z) dz = ∫[a,b] f(γ(t))γ'(t) dt. Il Teorema Integrale di Cauchy stabilisce che per funzioni olomorfe, l'integrale su circuiti omotopi è lo stesso e l'integrale su circuiti nullomotopi è zero. La disuguaglianza di Darboux fornisce un limite superiore per il valore dell'integrale.
- Serie di Laurent e Singolarità Isolate: Le serie di Laurent generalizzano le serie di Taylor includendo potenze negative di (z-z0), convergenti in corone circolari. Le singolarità isolate di una funzione olomorfa sono classificate in eliminabili, poli (con un ordine m) ed essenziali, basandosi sul comportamento della serie di Laurent. Il principio di identità per le funzioni olomorfe è cruciale per l'unicità e l'estensione delle funzioni.
- Teorema dei Residui: Il residuo di f in una singolarità isolata 'a' è il coefficiente c-1 della sua serie di Laurent. Il Teorema dei Residui permette di calcolare ∫γ f(z) dz come 2πi volte la somma dei residui delle singolarità interne al cammino, pesati dall'indice di avvolgimento. Vengono forniti metodi per il calcolo dei residui in poli semplici o di ordine superiore.
- Calcolo di Integrali Definiti: Il Teorema dei Residui è uno strumento potente per risolvere integrali reali definiti, trasformandoli in integrali complessi su cammini chiusi. Sono illustrate diverse tipologie di integrali (su cerchio unitario, impropri su R, e del tipo trasformata di Fourier/Laplace) e le strategie per la scelta del cammino di integrazione, inclusi il Lemma di Jordan per le condizioni di annullamento dell'integrale su archi semi-circolari.
Registrati e sblocca subito 3 appunti gratis, questo incluso.