Riassunti VERIFICATO
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Di cosa parla
- Funzione Lagrangiana: \(L(x; y; \lambda) = x^2 - 20x + y^2 - 4y + 104 + \lambda (x^2 - 12x + y^2 + 4y + 32)\)
- Condizioni di Lagrange: \(\frac{\partial L}{\partial x} = 0, \frac{\partial L}{\partial y} = 0, g(x; y) = 0\) dove \(g(x; y) = x^2 - 12x + y^2 + 4y + 32 = 0\)
- Soluzioni: \(x = 8, y = 0, \lambda = 1\) e \(x = 4, y = -4, \lambda = -3\)
- Vettori ortogonali al gradiente per \(x = 8, y = 0, \lambda = 1\): \(\left< -4, -4 \right>\) e per \(x = 4, y = -4, \lambda = -3\): \(\left< 4, 4 \right>\)
- Condizioni sufficienti: Per il punto \(x = 8, y = 0, \lambda = 1\) la matrice Hessiana è definita positiva con autovalore 4, quindi è un minimo locale. Per il punto \(x = 4, y = -4, \lambda = -3\) la matrice Hessiana è definita negativa con autovalore -4, quindi è un massimo locale.