Dispense VERIFICATO
serie numeriche
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Di cosa parla
- Introduzione alle Serie Numeriche: Vengono definite le serie numeriche, distinguendo tra convergenza (somma finita), divergenza (+/- infinito) e irregolarità (nessun limite per le somme parziali). Viene introdotto il concetto di successione delle somme parziali (S_m).
- Serie Geometriche e Telescopiche: La serie geometrica (Σq^n) viene analizzata in dettaglio, mostrando le condizioni per cui converge a 1/(1-q) (per |q|<1), diverge (per q≥1) o è irregolare (per q≤-1). Viene illustrato come usarle per convertire decimali periodici in frazioni. Le serie telescopiche, come la serie di Mengoli, vengono presentate come serie in cui la somma parziale si semplifica.
- Criteri di Convergenza per Serie a Termini Costanti:
- Condizione Necessaria: Se una serie converge, il suo termine generale deve tendere a zero.
- Serie a Termini di Segno Costante: Se i termini sono definitivamente non negativi, la serie è regolare (converge o diverge).
- Criterio del Confronto: Per serie a termini non negativi, permette di confrontare due serie per determinarne il carattere.
- Criterio del Confronto Asintotico: Se due serie hanno termini asintoticamente equivalenti e di segno costante, hanno lo stesso carattere.
- Serie Armonica e Generalizzata: La serie armonica (Σ1/n) è divergente, mentre la serie armonica generalizzata (Σ1/n^α) converge se α > 1 e diverge se α ≤ 1.
- Criterio del Rapporto (D'Alembert): Per serie a termini positivi, il limite del rapporto tra termini consecutivi (L) determina convergenza (L<1) o divergenza (L>1). Inconcludente se L=1.
- Criterio della Radice (Cauchy): Simile al criterio del rapporto, utilizza il limite della radice n-esima del termine generale (L) per determinare convergenza (L<1) o divergenza (L>1). Inconcludente se L=1.
- Convergenza Assoluta e Serie a Segno Alterno: Una serie converge assolutamente se converge la serie dei moduli. La convergenza assoluta implica convergenza, ma non viceversa (es. serie armonica alternata). Le serie a termini di segno alterno sono introdotte.
- Criterio di Leibnitz: Per le serie a segno alterno con termini non negativi, infinitesimi e decrescenti, la serie converge. Viene fornita anche una stima dell'errore (il resto m-esimo è minore o uguale al primo termine trascurato).
- Criterio Integrale: Se una funzione f(x) è continua, decrescente e positiva, la serie Σf(n) e l'integrale improprio ∫f(x)dx hanno lo stesso carattere. Utile anche per stimare il resto m-esimo.
- Somme di Serie Convergenti: Vengono presentate metodologie per approssimare la somma di una serie, calcolando il resto m-esimo e utilizzando il criterio di Leibnitz o il criterio integrale per stimarne l'errore.
- Serie di Taylor e MacLaurin: Definizione di serie di Taylor di una funzione f centrata in x0, e serie di MacLaurin (x0=0). Esempi includono la serie esponenziale (e^x), e le serie per cos(x), sin(x), ch(x), sh(x), log(1+x) e arctan(x), con le loro rispettive regioni di convergenza. Viene sottolineato che la convergenza di una serie di Taylor non implica sempre che la sua somma sia f(x).
- Serie di Numeri Complessi ed Esponenziale Complesso: Breve introduzione alle serie di numeri complessi e come il criterio di convergenza assoluta si estenda a questo contesto. Viene definita l'esponenziale complesso e^z = Σz^n/n! e derivata la formula di Eulero (e^iy = cos(y) + i sin(y)).