Riassunti VERIFICATO
Teoremi e Dimostrazioni
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Di cosa parla
- Vettore Accelerazione: Dimostra la scomposizione del vettore accelerazione
r''(t)in componenti tangenziale (v'(t)T(t)) e centripeta (v(t)²k(t)N(t)), derivandor'(t) = v(t)T(t). - Formule di Curvatura: Presenta le formule per calcolare la curvatura
k(s)utilizzando l'ascissa curvilinea (|dT/ds|o|d²r/ds²|) ek(t)in funzione di|r'(t)^r''(t)|/v(t)³. - Teorema degli Zeri (Intermedio): Afferma che per una funzione continua
f: E → Rsu un dominio connessoE, se esistonox, ytali chef(x)>0ef(y)<0, allora esistez ∈ Econf(z)=0. La dimostrazione si basa sul teorema degli zeri unidimensionale. - Continuità delle Funzioni Differenziabili: Se una funzione
fè differenziabile inx₀, allora è continua inx₀. La prova deriva dalla definizione di differenziabilità. - Formula del Gradiente: Per una funzione differenziabile
finx₀, la derivata direzionaleDᵥf(x₀)è data dal prodotto scalare∇f(x₀) · v. - Ortogonalità del Gradiente alle Curve di Livello: Il gradiente di una funzione
fin un punto regolare di una curva di livello è ortogonale al vettore tangente alla curva in quel punto. - Test delle Derivate Seconde: Per un punto critico
x₀di una funzionef ∈ C², la natura del punto (minimo, massimo o sella) è determinata dalla forma quadraticaq(h) = Hf(x₀)h·h, doveHfè la matrice Hessiana. - Moltiplicatori di Lagrange: Per trovare gli estremi vincolati di
f(x,y)con il vincolog(x,y)=c, in un punto regolare del vincolo(x₀,y₀)si deve avere∇f(x₀,y₀) = λ₀∇g(x₀,y₀). - Spazio Vettoriale delle Soluzioni ODE Omogenee: Le soluzioni di un'equazione differenziale ordinaria lineare omogenea formano uno spazio vettoriale di dimensione 2.
- Struttura dell'Integrale Generale ODE Complete: La soluzione generale di un'equazione differenziale completa è la somma di una soluzione particolare e della soluzione generale dell'equazione omogenea associata.
- Campi Conservativi: Un campo vettoriale conservativo
Fha un integrale di linea indipendente dal cammino e circuitazione nulla su curve chiuse. È condizione necessaria cherot(F)=0. - Formula di Gauss-Green: Relaziona un integrale doppio su un dominio
Dnel piano con un integrale di linea lungo il suo bordo∂D:∫∫D (∂xQ - ∂yP)dxdy = ∫∂D Pdx + Qdy. - Teorema della Divergenza (Gauss): Relaziona un integrale triplo del campo vettoriale su un dominio
Ωnello spazio con il flusso del campo attraverso il suo bordo∂Ω:∫∫∫Ω divF dxdydz = ∫∫∂Ω F·nₑdS. - Equazione di Continuità: Per un fluido, l'equazione
∂tρ + div(ρv) = 0esprime la conservazione della massa, derivata dal bilancio tra la variazione di massa nel volume e il flusso attraverso la superficie.