Riassunti VERIFICATO

Teoremi e Dimostrazioni

Politecnico di Milano ingegneria fisica 2020
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Di cosa parla

  • Vettore accelerazione: Spiega la decomposizione dell'accelerazione r"(t) nelle componenti tangenziale v'(t)T(t) e centripeta v(t)²k(t)N(t), derivata dalla relazione r'(t) = v(t)T(t).
  • Curvatura: Presenta diverse formule per il calcolo della curvatura k, tra cui k(s) = |dT/ds|, k(t) = |T'(t)|/v(t) e k(t) = |r'(t) ^ r"(t)| / v(t)³, con relative dimostrazioni basate sulle relazioni tra i vettori tangente, normale e velocità.
  • Teorema degli zeri: Dimostra che per una funzione continua f: E → R su un dominio connesso E ⊂ Rⁿ, se esistono x, y ∈ E tali che f(x) > 0 e f(y) < 0, allora esiste un z ∈ E con f(z) = 0, utilizzando il teorema degli zeri unidimensionale su una curva che congiunge x e y.
  • Continuità e Gradiente: Afferma che una funzione differenziabile f in x₀ è continua in x₀. La formula del gradiente Du f(x₀) = ∇f(x₀) · v è dimostrata derivando la definizione di differenziabilità.
  • Ortogonalità del gradiente: Spiega che in ogni punto regolare di una curva di livello f(x, y) = c, il gradiente ∇f è ortogonale al vettore tangente della curva.
  • Test delle derivate seconde: Fornisce i criteri per classificare i punti critici x₀ di una funzione f ∈ C²(D) basandosi sulla forma quadratica q(h) = Hf(x₀)h·h: minima se definita positivamente, massima se definita negativamente, e sella se indefinita.
  • Moltiplicatori di Lagrange: Descrive il metodo per trovare estremi vincolati, mostrando che in un punto di estremo (x₀, y₀) con vincolo g(x, y) = c, il gradiente di f è parallelo al gradiente di g (∇f(x₀, y₀) = λ₀∇g(x₀, y₀)).
  • Equazioni differenziali omogenee e complete:
    • L'insieme delle soluzioni dell'equazione omogenea Lz(t) = 0 è uno spazio vettoriale di dimensione 2.
    • L'integrale generale dell'equazione completa Ly(t) = f(t) si ottiene sommando una soluzione particolare ỹ(t) e l'integrale generale dell'omogenea z(t).
  • Campi conservativi: Sottolinea l'indipendenza del cammino di integrazione ∫γ F · dr = U(r(b)) – U(r(a)) e la circolazione nulla su cammini chiusi (∫γ F · dr = 0) per un campo F conservativo con potenziale U. Dimostra che una condizione necessaria per essere conservativo è rot(F) = 0.
  • Teorema di Gauss-Green: Presenta la formula ∫∫D (∂Q/∂x - ∂P/∂y) dxdy = ∫∂+D (Pdx + Qdy) per domini D ⊂ R², con dimostrazione dettagliata tramite integrazione per fili e relazioni con gli integrali di linea sui bordi.
  • Teorema di Gauss (Divergenza): Enuncia e dimostra ∫∫∫Ω divF dxdydz = ∫∫∂Ω F · ne dS per un dominio Ω ⊂ R³, scomponendo l'integrale di volume e di superficie per le singole componenti di F e il vettore normale ne.
  • Equazione di continuità: Deriva l'equazione ∂tρ(x, y, z, t) + div(ρv)(x, y, z, t) = 0 dalla legge di conservazione della massa, considerando la variazione temporale della massa M(t) in un volume Ω e il flusso ρv attraverso il suo bordo, applicando il teorema della divergenza.

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