Domande d'esame VERIFICATO
Domande di teoria
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Di cosa parla
- Teoremi di Convergenza: Discussa la convergenza monotona di Beppo Levi, con condizioni su funzioni misurabili positive e crescenti, e il teorema di convergenza dominata di Lebesgue, cruciale per lo scambio limite-integrale, richiedendo una funzione dominante integrabile.
- Analisi Complessa: Dettagliate le condizioni di olomorfia di Cauchy-Riemann, il teorema dei residui per il calcolo di integrali complessi e il principio di identità per funzioni olomorfe. È presente anche il teorema di invertibilità locale per funzioni complesse, legato al non annullarsi della derivata.
- Spazi Funzionali e Operatori: Definito il prodotto di convoluzione in L¹(R). Vengono introdotti gli spazi di Banach (spazi normati completi) e gli spazi di Hilbert, con la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, l'identità del parallelogramma e l'identità di Parseval. Si definisce l'operatore lineare continuo e la sua norma.
- Spazi di Hilbert e Proiezione: Enunciato il teorema di rappresentazione di Riesz, che connette funzionali lineari continui con prodotti scalari, e il teorema di proiezione su un convesso chiuso, con il suo corollario per i sottospazi chiusi. Viene affrontata la completezza dei polinomi trigonometrici in L²([-π, π]).
- Trasformate e Sobolev: Presentate le formule di inversione per la trasformata di Fourier in L¹(Rⁿ), L²(Rⁿ) e nello spazio di Schwartz S(Rⁿ). Definito lo spazio di Sobolev W¹ᵖ(Ω).
- Concetti Vari: Il teorema di Fubini per l'integrazione multipla, la disuguaglianza di Bessel per le serie di Fourier. Definizioni di funzione assolutamente continua e di funzione a decrescenza rapida (spazio di Schwartz). La formula di Cauchy per le derivate di ordine superiore.
- Problema delle Onde: La formula risolutiva di D'Alembert per il problema di Cauchy dell'equazione delle onde in una variabile spaziale.
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