Appunti VERIFICATO
riassunti matematica
36 visualizzazioni
48 download
Nessun voto ancora
Di cosa parla
- Insiemi Numerici: Vengono introdotti i principali insiemi (naturali, interi, razionali, reali, complessi) e la loro densità. Si analizza la struttura d'ordine di ℝ, definendo intervalli, maggioranti, minoranti, massimi, minimi, estremi superiori e inferiori. Viene descritta la struttura topologica di ℝ con i concetti di distanza, intorno e classificazione dei punti (interni, esterni, di frontiera, di accumulazione, isolati).
- Funzioni: Vengono definite le funzioni, distinguendo dominio, codominio, immagine e controimmagine. Si esaminano le proprietà di iniettività, suriettività e biunivocità, insieme alle funzioni composte e inverse. Il documento affronta poi i massimi e minimi assoluti e relativi per le funzioni, e le condizioni di monotonia (crescenti, decrescenti, strettamente crescenti/decrescenti).
- Limiti: Viene presentata la definizione formale di limite (ε-δ) e le procedure per verificarne l'esistenza o la non esistenza. Si distinguono limiti destri e sinistri. Sono enunciati i teoremi fondamentali sui limiti: unicità, permanenza del segno, teoremi del confronto (Squeeze Theorem). L'algebra dei limiti e le forme indeterminate sono dettagliatamente discusse, inclusi i simboli di Landau e i limiti notevoli.
- Continuità: Una funzione è continua in un punto se il limite coincide con il valore della funzione nel punto. Vengono classificate le discontinuità (prima, seconda, terza specie) e discusse le proprietà di conservazione della continuità per operazioni tra funzioni.
- Asintoti: Sono definiti gli asintoti orizzontali, verticali e obliqui, con esempi e condizioni per la loro esistenza.
- Derivate: Si introduce il concetto di derivata come limite del rapporto incrementale, definendo la retta tangente e il coefficiente angolare. Si analizza la derivabilità di una funzione e i punti di non derivabilità (angolosi, flessi a tangente verticale, cuspidi). Sono fornite le derivate delle funzioni elementari e le regole dell'algebra delle derivate (somma, prodotto, quoziente, funzione composta e inversa).
- Teoremi Differenziali: Vengono presentati i teoremi chiave come Fermat (per punti stazionari), Rolle e Lagrange (teorema del valor medio). È introdotto il Teorema di De l'Hospital per il calcolo dei limiti di forme indeterminate.
- Differenziale e Taylor: La differenziabilità è collegata alla derivabilità. Viene introdotta la formula di Taylor e di Maclaurin per approssimare le funzioni tramite polinomi, utile anche per lo studio dei punti stazionari (criterio della derivata seconda).
- Convessità: Si definiscono insiemi e funzioni convesse e concave, e la loro relazione con il segno della derivata seconda. I punti di flesso indicano un cambiamento di convessità.
- Integrale: Si introduce il concetto di primitiva e integrale indefinito, con una tabella degli integrali elementari e delle regole di integrazione. Vengono spiegate le tecniche di integrazione per parti e per sostituzione. L'integrale definito viene presentato come l'area sotto una curva (scaloidi, somme di Riemann) e le sue proprietà. Il Teorema della Media Integrale e il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale (Torricelli-Barrow) sono illustrati.
- Integrali Generalizzati: Si estende il concetto di integrale a funzioni su intervalli illimitati o con integrando illimitato.
- Funzioni a più Variabili: Vengono introdotti i concetti base di ℝⁿ, inclusi distanza euclidea, intorni e classificazione dei punti. Si definiscono dominio, grafico e insiemi di livello per le funzioni a più variabili. Sono trattate le derivate parziali, il vettore gradiente e la matrice Hessiana, con i criteri per identificare punti stazionari, massimi, minimi e punti di sella.