Compiti ed esercitazioni VERIFICATO
esercizi
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Di cosa parla
- Calcolare le derivate parziali per \( f(x, y) = \sqrt{x} + x^2y^2 \) e \( f(x, y) = \sin(x)y^{1/3} \): derivata parziale rispetto a \(x\) esiste solo se \(x \neq 0\), derivata parziale rispetto a \(y\) esiste in tutti i punti.
- Determinare il punto di continuità, derivabilità e differenziabilità per \( f(x, y) = x^{4/3}y^{-1/5} \) e \( f(x, y) = \sin(|xy|) \): entrambe le funzioni sono continue in \(\mathbb{R}^2\), derivabili nell'aperto tranne nei punti di tipo \((x,0)\).
- Calcolare le derivate direzionali per \( f(x, y) = \sqrt{x^2 + y^4} \): il limite esiste solo se \(x = 0\).
- Ricavare l'equazione del piano tangente per \( f(x, y) = e^{xy} + x^2 \) e \( f(x, y) = x^4 + \sin(xy) \): utilizzare la formula del piano tangente.
- Provare che \( f(x, y) = xy|xy| \) è di classe \( C_1 \) in \(\mathbb{R}^2\) ma non è di classe \( C_2 \): le derivate parziali sono continue su tutto \(\mathbb{R}^2\), ma le derivate seconde non sono definite su tutto \(\mathbb{R}^2\).
- Determinare il più piccolo \( n \in \mathbb{N} \) tale che \( f(x, y) = \frac{x^4 + y^{2n}}{x^2 + y^2} \) (per \( (x, y) \neq (0, 0) \)) e \( 0 \) (per \( (x, y) = (0, 0) \)) sia differenziabile in \((0, 0)\): per \( n = 1 \), la funzione non è differenziabile; per \( n = 2 \), la funzione è differenziabile.
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