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ESERCIZI DI MATEMATICA
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Di cosa parla
- Introduzione all'Analisi di Funzione: Il documento delinea una metodologia strutturata per l'analisi di una funzione, essenziale per lo studio matematico. Le fasi includono la determinazione del Dominio (C.E.), lo studio del Segno della Funzione, il calcolo dei Limiti, l'analisi della Derivata Prima e della Derivata Seconda, culminando nella costruzione del Grafico.
- Esempio Pratico: Analisi di f(x) = (x^2 - x - 6) / (x^2 + 5x + 6)
- Dominio (C.E.): Il denominatore, q(x) = x^2 + 5x + 6, deve essere diverso da zero. Risolvendo x^2 + 5x + 6 = 0 si trovano le radici x = -3 e x = -2. Pertanto, il dominio della funzione è (-∞, -3) U (-3, -2) U (-2, +∞).
- Limiti: Viene calcolato il limite per x che tende a -2. Fattorizzando il numeratore come (x-3)(x+2) e il denominatore come (x+2)(x+3), e semplificando il termine (x+2), si ottiene lim (x→-2) (x-3)/(x+3) = (-2-3)/(-2+3) = -5/1 = -5. Questo risultato indica una discontinuità eliminabile (un 'buco') nel grafico della funzione a y = -5 per x = -2.
- Studio del Segno:
- Il numeratore N = x^2 - x - 6 è maggiore o uguale a zero per x ≤ -2 o x ≥ 3.
- Il denominatore D = x^2 + 5x + 6 è maggiore di zero per x < -3 o x > -2.
- Combinando i segni, la funzione f(x) > 0 per x < -3 o x > 3.
- La funzione f(x) = 0 per x = 3.
- La funzione f(x) < 0 per -3 < x < -2 o -2 < x < 3.
- Derivata Prima: La derivata prima f'(x) viene calcolata utilizzando la regola del quoziente. Dopo aver derivato p(x) = x^2 - x - 6 (p'(x) = 2x - 1) e q(x) = x^2 + 5x + 6 (q'(x) = 2x + 5), e sostituendo nella formula, si ottiene f'(x) = 6(x+2)^2 / ((x+2)(x+3))^2. Semplificando, la derivata prima è f'(x) = 6 / (x+3)^2.
- Andamento della Funzione (Monotonia): Poiché (x+3)^2 è sempre positivo per i valori consentiti nel dominio (dove x ≠ -3), la derivata prima f'(x) = 6 / (x+3)^2 è sempre maggiore di zero. Questo implica che la funzione è **monotonamente crescente** su tutto il suo dominio e non presenta punti stazionari (massimi o minimi relativi).
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