Riassunti VERIFICATO
Dispensa Probabilità e processi stocastici
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Definizione assiomatica di probabilità (Kolmogorov): 0≤P(E)≤1, P(S)=1, P(⋃E_i)=∑P(E_i). Conseguenze: P(E)≤P(F) se E⊂F, P(E^c)=1−P(E), P(⋃E_i)=∑P(E_i) per eventi incompatibili, P(⋃E_i)≤∑P(E_i) per eventi compatibili. Definizione classica e frequenzialistica. Approccio soggettivo con scommesse coerenti. Probabilità condizionata: P(E|F)=P(E∩F)/P(F). Eventi indipendenti se P(E∩F)=P(E)⋅P(F). Variabili casuali e funzione di ripartizione. Proprietà della funzione di ripartizione. Funzione caratteristica. Esempi di funzioni di ripartizione e densità discreta. Momenti delle variabili casuali discrete, con valore atteso come caso speciale.
Leggi il riassunto completo
- Definizione assiomatica di probabilità secondo Kolmogorov: 0≤P(E)≤1, P(S)=1, P(⋃Ei)=∑P(Ei) per eventi incompatibili.
- Conseguenze: se E⊂F, allora P(E)≤P(F); P(Ec)=1−P(E); P(⋃Ei???)=∑P(Ei).
- Definizione classica: P(E)=|E|/|S| per spazio campionario finito e eventi equiprobabili.
- Esempio di calcolo della probabilità con dadi.
- Definizione frequentista: P(E)=limn→∞(n(E)/n).
- Approccio soggettivo: probabilità come grado di fiducia, scommessa coerente implica 0≤P≤1.
- Probabilità condizionata: P(E|F)=P(E∩F)/P(F).
- Esempio con lanci di moneta e dadi per verificare l'indipendenza degli eventi.
- Variabile casuale (VC): funzione associando un numero reale ad ogni risultato dello spazio campionario.
- Funzione di distribuzione F(x)=P(X≤x) con proprietà non decrescente, limitata tra 0 e 1, continua a destra.
- Esempio di costruzione della funzione di distribuzione per una VC.
- Variabile casuale discreta: può assumere un numero numerabile di valori. Densità di probabilità P(X=x).
- Momenti delle V.C. discrete e valore atteso E[X]=∑xP(X=x).
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