Dispense VERIFICATO
Asintotici
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Di cosa parla
- Asintotici: utilizzati nel calcolo dei limiti per prodotti, quozienti e potenze, ma non in somme
- Forme asintotiche per successioni: se \( b_n = a_n \cdot n^b \) con \( a_n \to 1 \) allora \( \log(b_n) \sim b \log(n) \)
- Tabella di forme asintotiche per funzioni trigonometriche e iperboliche: \(\sin(n)\sim n\), \(\arcsin(n)\sim n\), \(\tan(n)\sim n\), \(\arctan(n)\sim n\), \(\frac{1}{\cos(n)}\sim n^2\), \(\sinh(n)\sim n\), \(\tanh(n)\sim n\), \(\cosh(n)-1\sim n^2\)
- Forme asintotiche per esponenziali e logaritmici: \((1 + x_n)^{\frac{1}{x_n}} \to e\), \(e^{x_n} - 1 \sim x_n\), \(\log(1 + x_n) \sim x_n\) se \( x_n \to 0 \)
- Forme asintotiche per fattoriali: \( n! \sim \left(\frac{n}{e}\right)^n \sqrt{2\pi n} \) (de Moivre-Sterling), \(\log(n!) \sim n \log(n)\)
- Differenziale di una funzione in un punto: \( f(a_n) - f(a) \sim f'(a)(a_n - a) \) se \( a_n \to a \) e \( f'(a) \neq 0 \)