Dispense VERIFICATO
Analisi 1
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Di cosa parla
- Differenziabilità: Una funzione
fè differenziabile in un punto internox₀del suo dominio se esiste una rettay = t(x) = f(x₀) + m(x-x₀)che approssima benef, tale chef(x) - t(x) = o(x-x₀)perx → x₀. Questo implica chefè derivabile inx₀em = f'(x₀). - Approssimazione con Polinomi di Taylor: L'idea è migliorare l'approssimazione di una funzione rispetto alla retta tangente, utilizzando polinomi di grado superiore. Per un polinomio di grado 2,
T₂(x) = Q₀ + Q₁(x-x₀) + Q₂(x-x₀)², si dimostra cheQ₀ = f(x₀),Q₁ = f'(x₀)eQ₂ = f''(x₀)/2, rendendolo l'unico polinomio che 'condivide' i valori dif,f'ef''con la funzione inx₀. - Derivate di Ordine Superiore e Classi di Funzioni: Si definisce la derivabilità
(n+1)volte difinx₀sef^(n)(x)è differenziabile inx₀. Una funzione si dice di classeCⁿ(A)sef^(n)(x)è continua nell'intervalloA. - Polinomio di Taylor Generale: L'unico polinomio di ordine
nche ha in comune conf(derivabilenvolte inx₀) i valori delle derivate fino all'n-esima è dato daTₙ(x) = Σ_{k=0}^{n} (f^(k)(x₀)/k!)(x - x₀)^k. Questo è chiamato polinomio di Taylor di ordinendifcentrato inx₀. - Teorema di Taylor con Resto di Peano: Se
fè definita e derivabile (almeno)nvolte in un intorno dix₀, allora esiste un polinomioTₙ(x)di grado≤ntale chef(x) = Tₙ(x) + o((x-x₀)ⁿ)perx → x₀. Quio((x-x₀)ⁿ)è il 'resto di Peano'. - Teorema di Taylor con Resto di Lagrange: Se
fè derivabile(n+1)volte in un intervallo(a,b), allora per ognix₀, x ∈ (a,b)esiste unγcompreso trax₀extale chef(x) = Tₙ(x) + (f^(n+1)(γ)/(n+1)!)(x - x₀)^(n+1). L'ultimo termine è detto 'resto di Lagrange'. - Dimostrazione per
n=1(sketch): Viene fornita una dimostrazione del resto di Lagrange pern=1, usando il teorema di Rolle su una funzione ausiliaria costruita appositamente.