Dispense VERIFICATO
sviluppo serie
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Di cosa parla
- Lo sviluppo in serie di Taylor permette di approssimare una funzione derivabile almeno n volte mediante un polinomio, dove il termine residuo è definito come resto di Peano e rappresenta un infinitesimo di ordine superiore rispetto alla variabile.
- L'algebra degli o piccoli stabilisce che per due infinitesimi f(x) e g(x), la somma del loro prodotto con una costante k genera un nuovo infinito dell'ordine della somma dei singoli ordini, fondamentale per semplificare i termini residui negli sviluppi di serie.
- Il caso particolare in cui il punto di espansione è uguale a zero porta allo sviluppo noto come serie di Mac Laurin, che fornisce le formule specifiche per funzioni elementari comuni come esponenziali e logaritmi.
- Nelle applicazioni pratiche si utilizzano gli sviluppi di Taylor o Mac Laurin per rappresentare funzioni trascendenti quali seno, coseno, tangente, arcoseno e altre tramite polinomi che ne facilitano il calcolo numerico.
- Le formule derivate includono esplicitamente le serie per la potenza generica x^n, la radice quadrata (1+x)^alpha, l'esponenziale naturale con base e^x, i logaritmi naturali in base e e le funzioni trigonometriche inverse come arcotangente.
- La conoscenza degli sviluppi di Mac Laurin per tutte le principali funzioni elementari è essenziale nell'ingegneria chimica per la linearizzazione di modelli non lineari e l'approssimazione rapida di comportamenti fisici in piccole perturbazioni attorno a un punto di equilibrio.
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