Domande d'esame VERIFICATO
an_funz2019_appello3 esami corso prof: Bramanti
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Risposte teoriche:
- Teorema di Fubini-Tonelli: consente di scambiare ordine degli integrali doppi in spazi di Lebesgue, applicazioni nel corso.
- Teorema di Pitagora in spazi pre-Hilbertiani e Hilbert: versione per vettori finiti e successioni.
- Principe di indeterminazione di Heisenberg: relazione tra incertezza posizione e momento in trasformata di Fourier, esempi con uguaglianza.
Esercizi:
1. Funzione \( f(x) = x^2 e^{-x} \):
- Trasformata di Fourier prevista: non simmetrica, \( L^1 \cap C^1 \), convergenza veloce.
- Calcolo \( \mathcal{F}(f)(\xi) \): \( \frac{1}{4\xi^2 (1 + 2i\xi)^3} \).
2. Equazione integro-differenziale LC:
- Soluzio
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- Domande di teoria: enunciare e dimostrare il teorema di Fubini-Tonelli, il teorema di Pitagora in spazi pre-Hilbertiani e Hilbert, il principio di indeterminazione di Heisenberg, definire la convoluzione di distribuzioni, e svolgere esercizi sulla trasformata di Fourier e Laplace.
- Esercizio 1: analizzare proprietà della trasformata di Fourier di una funzione, calcolarla e verificare le proprietà previste.
- Esercizio 2: risolvere un'equazione integro-differenziale utilizzando la trasformata di Laplace, con parametri specifici e condizioni iniziali.
- Esercizio 3: considerare una distribuzione complessa, calcolarne la trasformata di Fourier, la derivata prima della distribuzione e descrivere l'espressione analitica della sua derivata prima.
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ELEMENTI DI ANALISI FUNZIONALE E TRASFORMATE · 3° anno · 2° semestre · 5 CFU · MATH-03/A
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