Dispense VERIFICATO
Dispense Geometria 1 - Bini (File 1)
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Di cosa parla
- Relazioni in un Insieme:
- Definizione di relazione R ⊆ A × B e notazione aRb.
- Relazioni di equivalenza (riflessiva, simmetrica, transitiva), classi di equivalenza [a]R e insieme quoziente A/R.
- Relazione di congruenza modulo n, con esempi in Zn.
- Gruppi, Anelli, Campi:
- Gruppo (G,*): Insieme con operazione associativa, elemento neutro e inverso. Gruppi abeliani (commutativi). Esempi: (Z,+), (Q,+), (Zn,+), gruppi di permutazioni (Sn).
- Anello (A,+,*): (A,+) è un gruppo abeliano, (*) è associativa con elemento neutro 1A e distributiva rispetto a (+). Anelli commutativi e divisori dello zero. Esempi: (Z,+,*), (Q,+,*), K[x].
- Campo (K,+,*): Un anello dove (K*,*) è un gruppo abeliano. I campi non hanno divisori dello zero. Esempi: (Q,+,*), (R,+,*), (C,+,*), (Zp,+,*) con p primo.
- Matrici:
- Definizione di Matm,n(K) (matrici a coefficienti in un campo K).
- Operazioni: somma di matrici (gruppo abeliano), prodotto di una matrice per uno scalare, prodotto riga per colonna (associativo ma non commutativo).
- Matrice trasposta, matrici simmetriche e diagonali.
- Matrici invertibili e il gruppo lineare generale GL(n,K).
- Risoluzione dei Sistemi di Equazioni Lineari:
- Rappresentazione di un sistema lineare Ax=b, matrice dei coefficienti e matrice completa.
- Metodo di eliminazione di Gauss: operazioni lecite sulle righe per ridurre la matrice a gradini.
- Analisi delle soluzioni: sistemi impossibili, determinati (soluzione unica), indeterminati (infinite soluzioni).
- Caratteristica (rango) di una matrice.
- Teorema di Rouché-Capelli: condizioni di risolubilità e numero di soluzioni (∞(n-r)).
- Sistemi lineari omogenei Ax=0.
- Spazi Vettoriali:
- Definizione di spazio vettoriale V su un campo K: (V,+) è un gruppo abeliano e sono definite proprietà di moltiplicazione per scalare.
- Vettori e scalari. Combinazioni lineari.
- Esempi: Kn, Vettori geometrici, Matrici, Polinomi.
- Proprietà elementari degli spazi vettoriali.
- Sottospazi:
- Definizione: un sottoinsieme U ⊆ V è un sottospazio se è chiuso rispetto a somma e prodotto per scalare, e contiene il vettore nullo.
- Operazioni: intersezione (U ∩ W) è sottospazio, somma (U + W) è sottospazio.
- Somma diretta (U ⊕ W) quando U ∩ W = {0}.
- Sistemi di Generatori, Dipendenza e Indipendenza Lineare, Basi, Dimensione:
- Sistemi di generatori: Insieme S tale che V = ⟨S⟩. Spazi finitamente generati (f.g.).
- Dipendenza e indipendenza lineare: Definizione e proprietà di vettori linearmente dipendenti (l.d.) e indipendenti (l.i.).
- Basi: Un insieme B è una base se è l.i. e un sistema di generatori per V. Unicità della rappresentazione tramite una base.
- Teoria della base: Dimostrazione dell'esistenza di una base per spazi f.g. (algoritmo degli scarti successivi) e dell'equicardinalità delle basi.
- Dimensione (dim V): Il numero di elementi in una base. Esempi: dim Kn = n, dim Matm,n(K) = mn. Corollari sulla dimensione di sottospazi.
- Formula di Grassmann:
- Teorema: dim(X) + dim(Y) = dim(X ∩ Y) + dim(X + Y) per sottospazi X, Y di uno spazio vettoriale finitamente generato V.