Testo e soluzione del compito del 12 luglio 2018 esame prof: Alessandra Cherubini

(a) Determinare al variare di k quante soluzioni ha il sistema.

(b) Verificare che per k=0 l'insieme delle soluzioni rappresenta in R³ una retta, trovare le sue equazioni parametriche.

(c) Dato x=z=0, trovare l'equazione del luogo L dei punti di R³ equidistanti da x=z=0.

(d) Verificare che L è una quadrica, classificarla.

(a) Determinare per quali valori del parametro reale k i vettori u, v, w formano una base di R³.

(b) Stabilire se la matrice A è diagonalizzabile.

(c) Trovare il valore di k per cui u è autovettore di f, verificare che per tale valore B={u, v, w} è una base di R³.

(d) Per il valore di k trovato al punto precedente, scrivere la matrice associata ad f rispetto alla base B (in partenza e in arrivo).

(a) Trovare delle basi ortonormali per U e V.

(b) Determinare le dimensioni di U+V e di U\V.

(c) Dato un generico vettore v=(x, y, z, t)∈R⁴, determinare le sue proiezioni ortogonali PU(v) su U e PV(v) su V.

(d) Dimostrare che la funzione f:R⁴→R⁴ definita da f(v)=PU(v)+PV(v) è un'applicazione lineare ortogonalmente diagonalizzabile. Determinare se 0 è un autovalore di f: in caso affermativo trovare una base dell'autospazio associato.