Compiti ed esercitazioni VERIFICATO
Esercizi su sistemi lineari e geometria (lineare) esercizi prof: Alessandra Cherubini
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Di cosa parla
- Al variare del parametro k, discutere e risolvere il sistema lineare \( \left\{ \begin{array}{l} x + 3y = -2 \\ y - kz = 1 \\ z - kx = 0 \end{array} \right. \). Interpretare geometricamente i risultati nel piano e nello spazio.
- Al variare del parametro h, discutere ed ove possibile risolvere il sistema \( \left\{ \begin{array}{l} 7ky + 3x = -12 \\ ykx = 4 \\ (h+1)z + hy^2 + x = 11 \end{array} \right. \). Interpretare geometricamente i risultati e determinare i parametri direttori della retta sostegno del fascio per h=1.
- Al variare del parametro a, studiare la risolubilità del sistema lineare \( Ax=b \) con \( A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 3 & 12 & 3a \\ a & a & a^2 \end{pmatrix}, b = (1, 4, 1)^T \). Determinare i valori di a per cui \( X = (2, -1, 1)^T \) è soluzione e interpretare la posizione mutua dei piani al variare di a.
- Al variare del parametro h, discutere e risolvere il sistema \( Ax=b \) con \( A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & h & 0 \\ 1 & 0 & h \end{pmatrix}, b = (h^2, 0, 3)^T \). Interpretare geometricamente i risultati e calcolare \( \det A^4 \) per h=2. Per h=-1, scrivere l'equazione del piano parallelo alla retta di equazioni \( x + 2y - z = 2 \).
- Determinare una matrice X tale che \( B(A+2I)B=B^2X \) con \( A= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}, B= \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \).
- Per quali valori di h è invertibile la matrice \( C=AB \) con \( A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix} \)? Dire se per tali valori esistono l'inversa di A e di B e calcolare \( C^{-1} \).
- Per quali valori di h l'equazione matriciale \( A(X^{-1}+C)=B \) ammette soluzione con \( A=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} -h & 1 \\ 3 & h \end{pmatrix}, C=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ h & 1 \end{pmatrix} \)?