Dispense VERIFICATO
Lezione 16 slide lezioni prof: Alessandra Cherubini
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Di cosa parla
- Una matrice quadrata A si dice ortogonalmente diagonalizzabile se esiste una matrice ortogonale U tale che \(U^{-1}AU = \text{diag}(a_1, a_2, \ldots, a_n)\), con gli autovalori reali.
- Una matrice reale simmetrica è ortogonalmente diagonalizzabile e ha autovalori reali; due autovettori associati ad autovalori distinti sono ortogonali.
- Il teorema spettrale afferma che una matrice quadrata è ortogonalmente diagonalizzabile in R se e solo se è simmetrica e reale, con la decomposizione \(A = U \text{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n)U^T\).
- Gli endomorfismi simmetrici rispetto a una base ortogonale sono rappresentati da matrici simmetriche e hanno autovalori reali.
- Una matrice ortogonale simmetrica rappresenta una simmetria ortogonale, con autospazi associati agli autovalori 1 e -1.
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