Dispense VERIFICATO
Lezione 17 slide lezioni prof: Alessandra Cherubini
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Di cosa parla
- Una forma quadratica reale è un polinomio omogeneo di secondo grado, associata a una matrice simmetrica e viceversa.
- Si definiscono segno di una forma quadratica: definita positiva (quando q(v) > 0 per v ≠ 0), definita negativa (quando q(v) < 0 per v ≠ 0), semidefinita positiva (quando q(v) ≥ 0 e esiste w ≠ 0 tale che q(w) = 0), semidefinita negativa (quando q(v) ≤ 0 e esiste w ≠ 0 tale che q(w) = 0), indefitta se esistono v, w tali che q(v) > 0 e q(w) < 0.
- Il segno di una matrice simmetrica reale A è determinato dal segno della forma quadratica xTAx associata a A.
- I minori principali di una matrice simmetrica A aiutano a determinare il suo segno: definito positivo se tutti i minori principali sono positivi, negativo se positivi per ordine pari e negativi per ordine dispari, semidefinito positivo se non negativi con almeno un minore principale nullo, semidefinito negativo se minori principali di ordine k o nulli o con segno (-1)k e almeno un minore principale nullo.
- Due matrici simmetriche sono congruenti se esiste una matrice non singolare S tale che B = STAS, conservando il segno della forma quadratica.
- I polinomi di secondo grado possono essere trasformati da isometrie in altri polinomi simili e la loro rappresentazione matriciale può essere modificata tramite isometrie.