Compiti ed esercitazioni VERIFICATO
Esercizi su autovalori, autovettori, matrici diagonalizzabili e simili esercizi prof: Alessandra Cherubini
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Di cosa parla
- Mostrare che i vettori \( \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \), \( \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \) e \( \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \) formano una base di \( \mathbb{R}^3 \) e calcolare la matrice di passaggio dalla base canonica alla base data.
- Dimostrare che l'applicazione lineare \( f: \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^4 \) definita da \( f([x, y, z, t]^T) = [x+y-2z+t, x-y+z+t, x-2z, y+t]^T \) ammette \( \lambda=0 \) come autovalore e trovare gli autovettori associati.
- Analizzare la funzione lineare \( T: \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^2 \) definita da \( T(x, y, z, w) = (x+2y-z+w, z+w) \), calcolando le dimensioni del nucleo e dell'immagine di \( T \), determinare una base per il nucleo e completarla a una base di \( \mathbb{R}^4 \).
- Studiare la diagonalizzabilità della matrice \( A = \begin{pmatrix} k & 0 & 0 \\ 3 & 3 & 0 \\ 2-2-k & 0 & -k \end{pmatrix} \) per diversi valori di \( k \), calcolare la matrice diagonale simile e la matrice di passaggio.
- Trovare i valori del parametro reale \( h \) per cui le matrici \( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ h+1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \) e \( B = \text{diag}(1,1,2) \) sono simili.