Dispense VERIFICATO
Lezione 13 slide lezioni prof: Alessandra Cherubini
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Di cosa parla
- Procedura per stabilire la diagonalizzabilità di una matrice A:
- Calcolare gli autovalori in C; se non tutti in R, A non è diagonalizzabile in R.
- Calcolare le molteplicità algebriche degli autovalori; se tutti hanno molteplicità 1, A è diagonalizzabile in R. Altrimenti, verificare se gli autovalori con molteplicità >1 sono regolari: se sì, A è diagonalizzabile in R; altrimenti non lo è.
- Procedura per stabilire la similitudine di due matrici A e B:
- Se trA ≠ trB o detA ≠ detB o rkA ≠ rkB, A e B non sono simili. Altrimenti, controllare se det(A-λI) = det(B-λI); se sì, verificare le molteplicità geometriche degli autovalori; se uguali per tutti gli autovalori e n ≤ 3 o entrambe diagonalizzabili, A e B sono simili. Altrimenti, risolvere il sistema XA = BX per vedere se esistono soluzioni con det X ≠ 0.
- Endomorfismi semplici: un endomorfismo è semplice se rispetto a una qualsiasi base di V è rappresentato da una matrice diagonalizzabile, equivalente a essere diagonalizzabile in R.
- Teorema di Cayley-Hamilton: una matrice quadrata A è sempre radice del suo polinomio caratteristico; permette di ridurre il calcolo di un qualsiasi p(A) a quello di un polinomio di matrici con grado al più n-1, e di calcolare A-1 se esiste.