Domande d'esame VERIFICATO
Testo e soluzione del compito del 7 febbraio 2017 esame prof: Alessandra Cherubini
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Di cosa parla
- Per i piani \(\pi_1: x - y + hz = 0\), \(\pi_2: x - hz + 1 = 0\), e \(\pi_3: y - z - 2h = 0\) con \(h \in \mathbb{R}\):
- (a) Non esistono valori di \(h\) per cui i piani hanno una retta in comune.
- (b) Le rette \(\pi_1 \cap \pi_2 = r_1\) e \(r_2: x - y = y + z - 2 = 0\) sono incidenti solo per \(h = 0\).
- (c) Le rette \(r_1\) e \(r_2\) sono sghembe per ogni valore di \(h \neq 0\).
- In \(\mathbb{R}^4\), per i sottospazi vettoriali \(V = \text{span}\{(1,0,0,-1), (0,1,2,1)\}\) e \(U = \{(x,y,z,t) | x - y + kt = 0\}\), con \(k \in \mathbb{R}\):
- (a) La dimensione di \(V\) è 2 e una sua base è \(\{(1,0,0,-1), (0,1,2,1)\}\).
- (b) Le equazioni cartesiane di \(V\) sono \(y - 2z = 0\) e \(x - y + z = 0\).
- (c) \(V \cap U = V\) se e solo se \(k = 1\).
- Nel piano, per i punti \(F = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2})\) e \(V = (0,0)\):
- (a) L’equazione della parabola \(C\) con fuoco \(F\) e vertice \(V\) è \(2(x^2 + y^2 - x - y + \frac{1}{2}) = (x + y + 1)^2\).
- (b) La forma canonica della parabola è \(X^2 - 2\sqrt{2}Y = 0\).
- (c) La trasformazione che riduce la parabola in forma canonica è una rotazione di \(\frac{\pi}{4}\).