geometria analitica nello spazio

Il testo che hai fornito è un riassunto di formule e teoremi fondamentali della **Geometria Analitica nello spazio** (piani, fasci, rette), ma contiene molti errori di codifica: i caratteri come `�` sono entità HTML per le lettere greche o simboli matematici che non si stanno rendendo correttamente. Ecco il testo **ripristinato e corretto**, con la spiegazione dei simboli decodificati (es. $x, y, z$, $\vec{r}$, determinanti, ecc.) in modo da poterlo studiare comodamente. --- ### 1. Fascio di Piani Dato un fascio generato dai piani: $$ \pi: ax + by + cz + d = 0 $$ $$ \pi': a'x + b'y + c'z + d' = 0 $$ Si definiscono due matrici (o vettori dei coefficienti): * **Vettore normale comune:** $\vec{n} = (a, b, c)$ e $\vec{n}' = (a', b', c')$ * Matrice dei coefficienti: $M_{coeff} = \begin{pmatrix} a & b & c \\ a' & b' & c' \end{pmatrix}$ **Classificazione del fascio:** Sia $\Delta_2$ il determinante di secondo ordine formato dai vettori normali (o la matrice dei coefficienti). In realtà, per i piani si guarda spesso il rapporto tra le costanti o l'intersezione. Tuttavia, seguendo la logica standard: 1. **Fascio proprio:** I due piani non sono paralleli ($\vec{n}$ e $\vec{n}'$ non sono proporzionali). L'equazione del fascio è $ax+by+cz+d + k(a'x+b'y+c'+d') = 0$. * Condizione: Il determinante formato dai vettori normali ha rango massimo (2), oppure i piani si intersecano in una retta. 2. **Fascio improprio:** I due piani sono paralleli ($\vec{n}$ e $\vec{n}'$ proporzionali, ma $d \neq d'$). Non esiste un punto di intersezione finito (o è l'infinito). *(Nota: La formula nel tuo testo con "minore estratto del secondo ordine = 0" si riferisce probabilmente alla condizione per cui i vettori normali sono proporzionali, rendendo il fascio improprio).* --- ### 2. Condizione di appartenenza Un piano $\pi'': a''x + b''y + c''z + d'' = 0$ appartiene al fascio generato da $\pi$ e $\pi'$ se e solo se: $$ \begin{vmatrix} a & b & c \\ a' & b' & c' \\ a'' & b'' & c'' \end{vmatrix} = 0 $$ *(Il determinante dei coefficienti è nullo, ovvero i tre vettori normali sono linearmente dipendenti).* --- ### 3.