Riassunti VERIFICATO
le coniche
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Di cosa parla
- La circonferenza è definita dall'equazione x²+y²+ax+by+c=0 con centro e raggio calcolabili in funzione dei coefficienti, mentre la sua posizione rispetto a una retta si determina valutando il discriminante del sistema formato dalle due equazioni per stabilire se siano esterna, tangente o secanti.
- I fasci di circonferenze sono descritti da equazioni parametriche che generano infinite curve passanti per punti base comuni quando le generatrici intersecano in due punti reali, oppure tangenti nel punto doppio se le generatrici si toccano, con l'asse radicale come luogo dei centri.
- L'ellisse è una conica a centro caratterizzata dalla somma costante delle distanze dai fuochi e simmetrica rispetto agli assi principali, la cui equazione canonica x²/a²+y²/b²=1 definisce vertici reali sull'asse maggiore ed eccentricità inferiore all'unità.
- L'iperbole è definita come il luogo dei punti per i quali la differenza assoluta delle distanze dai fuochi è costante e possiede due asintoti che fungono da diagonali del rettangolo formato dai semiassi, presentando vertici reali sull'asse trasverso ed eccentricità maggiore di uno.
- La parabola rappresenta una conica non a centro dove ogni punto ha uguale distanza dal fuoco e dalla direttrice, risultante dall'unione delle soluzioni dell'equazione quadratica generale quando il determinante della matrice associata alla forma quadratica è nullo.
- Per ridurre qualsiasi equazione di conica alla sua forma canonica si applica un processo di rotazione basato sugli autovettori e autovalori della matrice dei coefficienti quadratici seguito da completamento del quadrato per eliminare i termini lineari tramite traslazione dell'origine.
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