Compiti ed esercitazioni VERIFICATO
Prova d'esame con soluzioni
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Il documento presenta un compito universitario su probabilità e processi stocastici contenente sette esercizi svolti dal Prof. Brunero Liseo del 20 febbraio 2020, che coprono catene di Markov con calcolo della matrice di transizione e distribuzione invariante, modelli di affidabilità per lampadine, proprietà delle variabili aleatorie come media varianza e correlazione, problemi classici su urne e estrazioni senza reimmissione, calcoli bayesiani basati sulla preparazione degli studenti a un esame, densità congiunta marginale di punti nel cerchio unitario e distribuzioni condizionate.
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- Il testo presenta un esercizio su catene di Markov applicato a una compagnia assicurativa con tre categorie di clienti, chiedendo la costruzione della matrice di transizione e l'analisi dell'esistenza di una distribuzione invariante per determinare le percentuali stabili nel lungo periodo.
- Viene proposto un modello stocastico relativo alla durata delle lampadine di due torce, dove si analizzano diverse probabilità di guasto a seconda dello stato del sistema (entrambe funzionanti o solo una) al fine di calcolare la percentuale temporale in cui rimane attiva esattamente una sorgente luminosa.
- Si affrontano problemi su variabili casuali indipendenti X e Y per il calcolo della media, varianza e coefficiente di correlazione di combinazioni lineari Z e W, illustrando le proprietà algebriche delle aspettative e dei momenti statistici nelle distribuzioni normali o generali.
- L'esercizio sulle urne confronta due scenari probabilistici con composizioni diverse (rapporti tra palline rosse e blu) per calcolare probabilità di estrazione singola e doppia senza reimmissione, valutando infine quale scelta massimizzi la probabilità di vittoria in un gioco basato sulla presenza almeno di una palla blu.
- Viene modellata la distribuzione dei punteggi in un esame a quiz attraverso tre tipi di studenti con diverse capacità preparatorie, permettendo il calcolo della probabilità globale di superamento e l'applicazione del teorema di Bayes per aggiornare le probabilità delle categorie date la condizione di aver superato la prova.
- Il testo include esercizi avanzati su vettori aleatori e densità congiunte all'interno di regioni geometriche come cerchi, richiedendo il calcolo della funzione di distribuzione congiunta, delle leggi marginali e una spiegazione intuitiva sulla non uniformità della distribuzione risultante quando si genera prima un raggio casuale.
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