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Esercizi Finanza Quantitativa
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Questo documento offre una raccolta di esercizi di finanza quantitativa, ideali per studenti di finanza e assicurazioni. Gli argomenti trattati includono la valutazione di contratti forward e opzioni europee/americane tramite modelli binomiali e Black-Scholes. Vengono esplorate strategie di arbitraggio, il calcolo dei "Greci" (Delta, Gamma, Theta, Vega, Rho) per opzioni call e put, e l'applicazione di metodi numerici come differenze finite e Monte Carlo per la stima di prezzi derivati e integrali. Un focus è posto anche sulla costruzione di alberi binomiali per la valutazione delle opzioni e sulla risoluzione di PDE per modelli finanziari, oltre all'analisi della superficie di volatilità.
Leggi il riassunto completo
- Contratti Forward:
- Calcolo del prezzo di consegna e rappresentazione grafica del payoff (long/short).
- Identificazione e illustrazione di strategie di arbitraggio.
- Determinazione del tasso di interesse di valutazione da un prezzo di non-arbitraggio.
- Opzioni Europee e Americane (Call/Put):
- Calcolo del limite inferiore per il prezzo di una call europea e analisi delle implicazioni se il prezzo è inferiore.
- Costruzione di portafogli replicanti il payoff di una call.
- Valutazione delle opzioni call e put europee tramite modelli binomiali (es. albero binomiale a due periodi, con movimenti di prezzo specifici).
- Discussione sulla convenienza dell'esercizio anticipato delle opzioni americane.
- Modelli Binomiali per Derivati:
- Valutazione di opzioni put europee e americane con albero binomiale ricombinante a due periodi.
- Valutazione di derivati con payoff complessi (es.
max{S_T^2 - 63, 0}) utilizzando alberi binomiali e il metodo CRR. - Approfondimento della relazione tra il modello binomiale moltiplicativo e la formula di Black-Scholes per le opzioni put europee.
- Metodi Numerici Avanzati:
- Metodi alle Differenze Finite: Risoluzione di equazioni differenziali parziali (PDE) con condizioni al contorno specifiche, applicando i metodi esplicito, implicito e Crank-Nicholson per calcolare i prezzi di opzioni call e put (europee e americane).
- Metodo Monte Carlo: Determinazione di campioni per la stima di integrali definiti con diverse funzioni integrande, valutazione dell'area delimitata dal grafico di funzioni e calcolo del valore di opzioni con payoff complessi, inclusa la stima del valore di Pi.
- Analisi delle Greci:
- Verifica teorica delle relazioni per Delta, Gamma, Theta, Vega, Rho (
Δp, Γp, Θp, Vp, Pp) per opzioni put europee. - Calcolo dei valori di Delta, Gamma, Vega, Theta, Rho (
Δ, Γ, V, Θ, ρ) per opzioni call e put europee utilizzando metodi alle differenze finite.
- Verifica teorica delle relazioni per Delta, Gamma, Theta, Vega, Rho (
- Volatilità Implicita:
- Disegno della superficie di volatilità ottenuta con il metodo di Newton-Raphson, usando vettori di prezzi di esercizio e scadenze.
- Statistica e Probabilità:
- Estrazione di variabili aleatorie da distribuzioni normali standard per il calcolo di quantità derivate.
- Dimostrazione dell'approssimazione della distribuzione binomiale con la gaussiana.
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