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Riassunti Probabilità e Statistica
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Riassunto:
- Definizione media e varianza per variabili discrete e continue.
- Proprietà della varianza: V(ax+b)=a²V(x), V(X+Y)=V(X)+V(Y) se indipendenti, Cov(X,Y)=0 se non correlate.
- Indice di correlazione lineare di Pearson.
- Definizione e calcolo della media, varianza, covarianza per variabili discrete.
- Funzione di distribuzione (CDF) per variabili discrete e continue.
- Calcolo della mediana.
- Teorema delle probabilità totali e condizionate.
- Distribuzione uniforme discreta.
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- Media: \(X = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i\)
- Varianza: \(V(X) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - X)^2\) per campionamento, \(V(X) = E[(X - EX)^2]\) in generale
- Covarianza di due variabili aleatorie: \(Cov(x,y) = E[(x-EX)(y-EY)]\)
- Proprietà Covarianza: \(Cov(ax + b, y) = a \cdot Cov(x, y)\), \(Cov(x, x) = Var(x)\), \(Cov(x + y, z) = Cov(x, z) + Cov(y, z)\)
- Indice di correlazione lineare di Pearson: \(r_{xy} = \frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{Var(X)Var(Y)}}\)
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20 carte di ripasso sul programma ufficiale dell'insegnamento. Prova le prime:
Enunciate gli assiomi di Kolmogorov della probabilità e spiegate che cos'è uno spazio probabilizzato. Gira la carta
Uno spazio probabilizzato è una terna (Ω, F, P), dove Ω è lo spazio campionario, F una σ-algebra di sottoinsiemi di Ω e P una funzione P: F → [0,1] tale che P(Ω) = 1 e P è σ-additiva: per eventi a due a due disgiunti A₁, A₂, ... si ha P(∪Aₙ) = Σ P(Aₙ). Da questi assiomi seguono P(∅) = 0, P(Aᶜ) = 1 − P(A) e la monotonia di P.
Che cos'è una σ-algebra di eventi e quali proprietà deve avere? Gira la carta
Una σ-algebra F è una famiglia di sottoinsiemi di Ω che contiene Ω, è chiusa rispetto al complementare e rispetto all'unione numerabile di suoi elementi. Di conseguenza è chiusa anche per intersezioni numerabili. Essa rappresenta la collezione degli eventi a cui è possibile assegnare una probabilità.
Definite la probabilità condizionata P(A|B) e spiegate quando due eventi sono indipendenti. Gira la carta
Per P(B) > 0 si definisce P(A|B) = P(A∩B)/P(B), cioè la probabilità di A una volta noto che si è verificato B. Due eventi A e B sono indipendenti se P(A∩B) = P(A)P(B), che equivale, quando P(B) > 0, a P(A|B) = P(A).
Carte generate con l'intelligenza artificiale dal programma dell'insegnamento: possono contenere errori.
Di cosa parla l'insegnamento
PROBABILITA' E STATISTICA MATEMATICA · 1° anno · 2° semestre · 5 CFU · MATH-03/B
Coerentemente con gli obiettivi formativi del corso di studio previsti della scheda SUA-CdS, l'insegnamento si propone di fornire allo studente i principi fondamentali per la modellizzazione dei fenomeni aleatori e l’analisi statistica dei dati. Ulteriore obiettivo è l’approfondimento di alcuni metodi probabilistici…