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probabilità
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Il documento introduce i concetti base della probabilità definendo esperimento aleatorio, spazio campionario ed eventi (possibili, certi, impossibili). Vengono illustrati gli assiomi fondamentali, le diverse interpretazioni (classico, frequentista, soggettiva) e le regole operative come quelle additiva, moltiplicativa e dell'evento complementare. Si analizzano poi la probabilità condizionata, l'indipendenza statistica distinguendola dall'esclusività, e si studiano gli strumenti per eventi bivariati come tabelle a doppia entrata, odds e il teorema di Bayes.
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- La probabilità misura la verosimiglianza di un evento in esperimenti aleatori, distinguendo tra eventi elementari, impossibili, certi e definendo operazioni logiche come intersezione (verifica simultanea), unione (verifica parziale o totale) ed eventi complementari, con approcci classici, frequentisti, soggettivi e assiomatici che stabiliscono regole fondamentali quali la somma delle probabilità dello spazio campionario pari a 1.
- Le regole operative includono quella dell'evento complementare, la regola additiva per l'unione di eventi sottraendo l'intersezione, e la regola moltiplicativa per calcolare le intersezioni tramite probabilità condizionate P(A|B), che descrive come il verificarsi di B influenzi A.
- Si analizza il concetto di indipendenza statistica, dove il verificarsi di un evento non altera la probabilità dell'altro (P(A|B)=P(A)), differenziandolo dall'esclusione reciproca in cui due eventi non possono verificarsi insieme, e si introducono le probabilità bivariate per gestire insiemi distinti tramite tabelle a doppia entrata.
- Le probabilità congiunte rappresentano le intersezioni mentre quelle marginali riguardano i singoli eventi, con gli odds che misurano il rapporto tra probabilità di successo e fallimento e l'overinvolvement ratio che valuta se un fattore aumenta o diminuisce la probabilità condizionata di un altro evento.
- Il teorema di Bayes permette di invertire le probabilità condizionate per aggiornare le stime in base a nuove informazioni, seguendo una procedura risolutiva strutturata che parte dalla definizione degli eventi e delle loro probabilità iniziali fino al calcolo finale tramite la formula bayesiana.
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Definisci la probabilità secondo l'impostazione classica e spiegane il limite principale. Gira la carta
Nell'impostazione classica (di Laplace) la probabilità di un evento è il rapporto tra il numero di casi favorevoli e il numero di casi possibili, purché tutti gli esiti siano equiprobabili. Il limite principale è proprio questo presupposto: la definizione è applicabile solo se gli esiti sono equiprobabili, e rischia quindi di essere circolare quando non lo sono.
Enuncia gli assiomi di Kolmogorov della probabilità. Gira la carta
Dato uno spazio campionario Ω, una funzione di probabilità P associa a ogni evento un numero tale che: P(A) è non negativa; P(Ω)=1; per eventi a due a due incompatibili la probabilità dell'unione è la somma delle probabilità. Da questi assiomi discendono le proprietà elementari, come P(A^c)=1-P(A).
Che cos'è la probabilità condizionata e qual è il teorema di Bayes? Gira la carta
La probabilità condizionata P(A|B) è la probabilità di A sapendo che B si è verificato, e si calcola come P(A∩B)/P(B) con P(B)>0. Il teorema di Bayes esprime P(A|B) come P(B|A)P(A)/P(B), ed è usato per aggiornare una probabilità alla luce di una nuova informazione.
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Di cosa parla l'insegnamento
STATISTICA · 1° anno · 9 CFU · STAT-01/A
Possedere una base teorico concettuale piuttosto ampia, anche se matematicamente poco formalizzata, ed una sufficiente dimestichezza con le tecniche fondamentali di rilevazione e di elaborazione dei dati. Al termine del corso, lo studente avrà sviluppato le seguenti competenze declinate secondo i Descrittori di…