Appunti VERIFICATO
Appunti del corso di esercitazioni di analisi 3
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Di cosa parla
- Misura di Lebesgue: È invariante per traslazioni (
m*(A+v) = m*(A)), riscalamento (m*(λA) = λⁿ m*(A)) e trasformazioni affini (m*(T(A)) = |det(M)| m*(A)). Un insieme misurabile è approssimabile da insiemi di Borel con differenza di misura nulla. - Insiemi di Misura Nulla: Singoli punti e insiemi al più numerabili (e.g.,
Q) hanno misura zero. - Insieme di Cantor: Controesempio per la misurabilità, costruito rimuovendo terzi centrali.
- Proprietà: Misura nulla (
m(C) = 0), ma cardinalità del continuo (non numerabile). È compatto e perfetto, con elementi aventi solo cifre 0 e 2 in ternario.
- Proprietà: Misura nulla (
- Funzione di Cantor (Scala del Diavolo): Funzione
Ψ: [0,1] → [0,1]basata sull'insieme di Cantor.- Proprietà: Non decrescente, continua, suriettiva. Derivabile con derivata nulla quasi ovunque su
[0,1] \ C, ma non è costante. Cruciale per costruire insiemi misurabili non Boreliani.
- Proprietà: Non decrescente, continua, suriettiva. Derivabile con derivata nulla quasi ovunque su
- Insiemi Non Misurabili (Vitali): Costruiti con l'Assioma della Scelta. Definiamo
x ~ ysex-y ∈ Q, selezionando un rappresentanteEda ogni classe di equivalenza in[0,1].- Proprietà: Gli insiemi traslati
(E+q)sono disgiunti perq ≠ re la loro unione copreR. Si dimostra cheEnon è misurabile.
- Proprietà: Gli insiemi traslati
- Insiemi Misurabili ma Non Boreliani: Esistono, la loro costruzione spesso usa la funzione di Cantor e insiemi di Vitali.
- Paradosso di Banach-Tarski: Illustra gli effetti controintuitivi degli insiemi non misurabili e dell'Assioma della Scelta. Una sfera in
R³può essere scomposta in un numero finito di pezzi, riassemblati con movimenti rigidi per formare due sfere identiche all'originale. Questo richiede pezzi non misurabili.