Riassunti VERIFICATO
Teoremi e Dimostrazioni
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Di cosa parla
- Formula di De Moivre: \( z \cdot w = r_1r_2[\cos(\theta_1 + \theta_2) + i\sin(\theta_1 + \theta_2)] \)
- Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz: \( |\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}|^2 \leq \|\mathbf{u}\|^2 \|\mathbf{v}\|^2 \)
- Rappresentazione matriciale delle applicazioni lineari: \( L(\mathbf{u}) = A\mathbf{x} \) dove \( \mathbf{x} \) e \( A \) sono determinati dalle basi di \( V_n \) e \( V_m \)
- Determinante e sue proprietà: 1. Se una riga o colonna ha zeri, det(A) = 0; 2. Scambio di righe/colonne non cambia segno; 3. Due righe/colonne uguali → det(A) = 0; 4. Lineare rispetto alle righe/colonne; 5. Aggiunta combinazione lineare delle righe/colonne non cambia det(A); 6. Se vettori linearmente dipendenti, det(A) = 0
- Inversa di una matrice: \( A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} (A_{ij}^*)^T \)
- Teorema nullità più rango: \( \dim(\ker(L)) + \dim(\operatorname{Im}(L)) = n \)
- Condizione di diagonalizzabilità: Matrice diagonalizzabile su \( R \) o \( C \) ha base di autovettori
- Teorema degli zeri: Se \( f:[a, b] \to \mathbb{R} \) continua e \( f(a)f(b) < 0 \), allora esiste \( c \in [a, b] \) tale che \( f(c) = 0 \)
- Teorema di Heine-Cantor: Se \( f:K \to \mathbb{R} \) continua su compatto \( K \), allora è uniformemente continua
- Algebra delle derivate: 1. Derivata somma; 2. Derivata prodotto (formula di Leibniz); 3. Derivata quoziente
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